Edición de «Final 23/12/2002 (Álgebra I)»

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==Ejercicio 1==
Determinar cuántas funciones '''biyectivas''' <math> f: \left\{ 1, 2, 3, \ldots , 16\right\} \; \rightarrow \; {1, 2, 3, \ldots , 16 \right\} </math> satisfacen que <math> f(a) \equiv a \; (8)</math> para todo <math> a \in \right\{1, 2, 3, \ldots , 16 \right\} </math>

==Ejercicio 2==
Sea <math> \sim </math> la relación de equivalencia en <math> G_8 </math> definida por

<math> z \sim w \; \Leftrightarrow \; z^6 = w^6 </math>

Hallar la clase de equivalencia de <math> \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} } i </math>

==Ejercicio 3==
Hallar los <math> a \in \mathbb{R}</math> tales que (al menos) una raíz cúbica de la unidad es raíz del polinomio

<math> f = X^7 - X^4 + aX^3 - 2</math>

Para cada valor de ''a'' hallado, encontrar todas las raíces de <math> f </math> en <math> \mathbb{C} </math>.

==Ejercicio 4==
Hallar todos los <math> a \in \mathbb{Z}</math> tales que <math> 6a^13 + 7a^5 + 4^{132} \equiv 28  \; (105) </math>

==Ejercicio 5==
Sea <math> ( f_n)_{n \in \mathbb{N}} la sucesión de polinomios definida por:

<math> f_1 = ( X^2 - 1)^2, \;\;\;\; f_{n+1} = (X^2 - 1) f'_n - Xf_n \;\;\;\;\; ( n \in \mathbb{N} ) </math>

Probar que, para todo <math> n \in \mathbb{N} </math>, 1 es raíz '''doble''' de <math> f_n </math>