Final 23/12/2002 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Determinar cuántas funciones biyectivas $f:\left\{1,2,3,\ldots ,16\right\}\;\rightarrow \;\left\{1,2,3,\ldots ,16\right\}$ satisfacen que $f(a)\equiv a\;(8)$ para todo $a\in \left\{1,2,3,\ldots ,16\right\}$

Ejercicio 2

Sea $\sim$ la relación de equivalencia en $G_{8}$ definida por

$z\sim w\;\Leftrightarrow \;z^{6}=w^{6}$

Hallar la clase de equivalencia de ${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

Ejercicio 3

Hallar los $a\in \mathbb {R}$ tales que (al menos) una raíz cúbica de la unidad es raíz del polinomio

$f=X^{7}-X^{4}+aX^{3}-2$

Para cada valor de a hallado, encontrar todas las raíces de $f$ en $\mathbb {C}$.

Ejercicio 4

Hallar todos los $a\in \mathbb {Z}$ tales que $6a^{1}3+7a^{5}+4^{132}\equiv 28\;(105)$

Ejercicio 5

Sea $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la sucesión de polinomios definida por:

$f_{1}=(X^{2}-1)^{2},\;\;\;\;f_{n+1}=(X^{2}-1)f'_{n}-Xf_{n}\;\;\;\;\ ;(n\in \mathbb {N} )$

Probar que, para todo $n\in \mathbb {N}$, 1 es raíz doble de $f_{n}$