Edición de «Segundo Parcial 2do Cuatrimestre 2015 (Probabilidad y Estadística)»

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== Ejercicio 1 ''(25 puntos)'' ==
Un quiosco vende tres marcas de alfajores: Guaymayen, Terrabusi y Cachafaz. Se sabe que cuando un cliente entra a comprar un alfajor, la proba de que compre el Guaymayen es <math>\frac{1}{6}</math>, el Terrabusi <math>\frac{1}{2}</math> y el Cachafaz <math>\frac{1}{3}</math>. Asumimos que las marcas elegidas por los distintos clientes son independientes. La ganancia del quiosquero por cada alfajor vendido es de $3 si es Guaymayen, $4 si es Terrabusi y $6 si es Cachafaz.

* ''(13 puntos)'' Si un dia entran 40 clientes a comprar un alfajor cada uno, calcular aproximadamente la proba de que la ganancia total del día por la venta de alfajores supere los $177.
* ''(12 puntos)'' Usando TCL, cuántos clientes deberían entrar en un día para que la ganancia total del día (por venta de alfajores) supere los $177 con probabilidad aproximada de al menos <math>0.95</math>?

== Ejercicio 2 ''(25 puntos)'' ==
Consideremos <math> X_1, X_2, \ldots, X_n </math> una muestra aleatoria donde la densidad de <math>X_i</math> viene dada por

<math>f(x;\theta) = \frac{4 \theta^{12}}{x^5} I_{[\theta^3, \infty)}(x)</math>, <math>\theta > 0</math>

* ''(6 puntos)'' Hallar <math>\hat{\theta}_m</math> el estimador de momentos de <math>\theta</math>.
* ''(6 puntos)'' Es consistente <math>\hat{\theta}_m</math>? Justificar.
* ''(7 puntos)'' Hallar el estimador de máxima verosimilitud <math>\hat{\theta}_MV</math>.
* ''(6 puntos)'' Es consistente <math>\hat{\theta}_MV</math>?

== Ejercicio 3 ''(25 puntos)'' ==
Se supone que el tiempo de vida en años de las baterías para calculadora se distribuye exponencialmente con parámetro <math>\lambda</math>. Se tomó una muestra aleatoria de <math>9</math> baterías y se observó el tiempo de vida de cada una de ellas obteniendose una media muestral igual a <math>2</math>.

* ''(12 puntos)'' Describir las variables aleatorias involucradas en el problema y dar su distribución. Hallar un intervalo de confianza de nivel exacto <math>0.95</math> para el tiempo medio de vida de las baterías. Para ello, recuerde que si <math> X_1, X_2, \ldots, X_n </math> son i.i.d. con <math> X_i \~ \Epsillon (\lambda) </math>, entonces <math> 2 \lambda \sum_{i=1}^n X_i \~ \Gamma(n, \frac{1}{2}) </math>.
* ''(13 puntos)'' Hallar un intervalo de confianza de nivel asintótico <math>0.95</math> para el tiempo de vida de las baterías si el tamaño de muestra es <math>90</math> y la media muestral resulta <math>2</math>.

== Ejercicio 4 ''(25 puntos)'' ==
Se sabe que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca <math>A</math>. Para incrementar esta preferencia, se realiza una campaña publicitaria en cierta región de ventas y se desea estudiar el impacto de la misma.

* ''(7 puntos)'' Defina las variables aleatorias, su distribución y el/los parámetros/s involucrado/s. Determine las hipótesis a testear. Construya una región de rechazo de nivel asintótico <math>\alpha</math> para las hipótesis planteadas.
* ''(5 puntos)'' Un encuestador entrevistó a 200 fumadores para determinal la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca <math>A</math>. Indican estos datos, a nivel aproximado <math>0.05</math>, un aumento en la preferencia por la marca <math>A</math>?
* ''(4 puntos)'' Calcular el ''p-valor'' correspondiente a los datos del item anterior. En base a esto, qué desición tomaría a nivel <math>0.10</math>?
* ''(5 puntos)'' Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva (a nivel <math>0.05</math>), cuando el porcentaje real de preferencia por la marca <math>A</math> despues de la campaña es <math>0.15</math> y se entrevista a 200 fumadores?
* ''(4 puntos)'' Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la proba de ''d)'' fuese a lo sumo <math>0.10</math>, manteniendo el nivel <math>0.05</math>?