Segundo Parcial 2do Cuatrimestre 2015 (Probabilidad y Estadística)

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Ejercicio 1 (25 puntos)[editar]

Un quiosco vende tres marcas de alfajores: Guaymayen, Terrabusi y Cachafaz. Se sabe que cuando un cliente entra a comprar un alfajor, la proba de que compre el Guaymayen es , el Terrabusi y el Cachafaz . Asumimos que las marcas elegidas por los distintos clientes son independientes. La ganancia del quiosquero por cada alfajor vendido es de $3 si es Guaymayen, $4 si es Terrabusi y $6 si es Cachafaz.

  • (13 puntos) Si un dia entran 40 clientes a comprar un alfajor cada uno, calcular aproximadamente la proba de que la ganancia total del día por la venta de alfajores supere los $177.
  • (12 puntos) Usando TCL, cuántos clientes deberían entrar en un día para que la ganancia total del día (por venta de alfajores) supere los $177 con probabilidad aproximada de al menos ?

Ejercicio 2 (25 puntos)[editar]

Consideremos una muestra aleatoria donde la densidad de viene dada por

,

  • (6 puntos) Hallar el estimador de momentos de .
  • (6 puntos) Es consistente ? Justificar.
  • (7 puntos) Hallar el estimador de máxima verosimilitud .
  • (6 puntos) Es consistente ?

Ejercicio 3 (25 puntos)[editar]

Se supone que el tiempo de vida en años de las baterías para calculadora se distribuye exponencialmente con parámetro . Se tomó una muestra aleatoria de baterías y se observó el tiempo de vida de cada una de ellas obteniendose una media muestral igual a .

  • (12 puntos) Describir las variables aleatorias involucradas en el problema y dar su distribución. Hallar un intervalo de confianza de nivel exacto para el tiempo medio de vida de las baterías. Para ello, recuerde que si son i.i.d. con Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_i \~ \Epsillon (\lambda) } , entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 2 \lambda \sum_{i=1}^n X_i \~ \Gamma(n, \frac{1}{2}) } .
  • (13 puntos) Hallar un intervalo de confianza de nivel asintótico para el tiempo de vida de las baterías si el tamaño de muestra es y la media muestral resulta .

Ejercicio 4 (25 puntos)[editar]

Se sabe que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca . Para incrementar esta preferencia, se realiza una campaña publicitaria en cierta región de ventas y se desea estudiar el impacto de la misma.

  • (7 puntos) Defina las variables aleatorias, su distribución y el/los parámetros/s involucrado/s. Determine las hipótesis a testear. Construya una región de rechazo de nivel asintótico para las hipótesis planteadas.
  • (5 puntos) Un encuestador entrevistó a 200 fumadores para determinal la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca . Indican estos datos, a nivel aproximado , un aumento en la preferencia por la marca ?
  • (4 puntos) Calcular el p-valor correspondiente a los datos del item anterior. En base a esto, qué desición tomaría a nivel ?
  • (5 puntos) Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva (a nivel ), cuando el porcentaje real de preferencia por la marca despues de la campaña es y se entrevista a 200 fumadores?
  • (4 puntos) Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la proba de d) fuese a lo sumo , manteniendo el nivel ?


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