Diferencia entre revisiones de «Práctica 8 (Métodos Numéricos)»

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comment3, <a href="http://ppcsdoor.com/magazine/celebrity-rumors">celebrity rumors</a>, http://ppcsdoor.com/magazine/celebrity-rumors celebrity rumors, %]], <a href="http://ppcedoor.com/protection/avg-antivirus-review">avg antivirus review</a>, http://ppcedoor.com/protection/avg-antivirus-review avg antivirus review,  132648, <a href="http://ppcsdoor.com/wire/barb-wire-borders">barb wire borders</a>, http://ppcsdoor.com/wire/barb-wire-borders barb wire borders, %), <a href="http://ppcedoor.com/antivirus/business-card-freeware-shareware">business card freeware / shareware</a>, http://ppcedoor.com/antivirus/business-card-freeware-shareware business card freeware / shareware, jdwu, <a href="http://ppcedoor.com/antivirus/software-anti-spam">software anti spam</a>, http://ppcedoor.com/antivirus/software-anti-spam software anti spam, 644656, <a href="http://ppcsdoor.com/brick/cleaning-brick-pavers">cleaning brick pavers</a>, http://ppcsdoor.com/brick/cleaning-brick-pavers cleaning brick pavers,  >:-), <a href="http://ppcdooerrr.com/wool/burlington-coat-factory">burlington coat factory</a>, http://ppcdooerrr.com/wool/burlington-coat-factory burlington coat factory,  %]],
==Ejercicio 1==
'''¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?'''
<math> S = \{ x + y - z = 0 \}</math>. El vector normal al plano es (1, 1, -1).<BR>
Entonces buscamos un <math>t= (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) </math> que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0.
Entonces t está en S <math>\Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 </math>


==Ejercicio 2==
<math>\Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0</math>
'''La función f(x) está definida en el intervalo [0, 1] como:<BR>
<math>
  f(x)=
  \begin{cases}
    x, & si \ 0 <= x <= \frac{1}{2}
    \\ 1 - x, & si \ \frac{1}{2} <= x <= 1
  \end{cases}
</math>
Calcular <math>\int_{0}^{1}{ f(x)dx }</math>mediante las siguientes aprox_imaciones:'''<BR>
====Ejercicio 2.a====
'''Regla de los Trapecios en [0, 1].'''<BR>
En general:<BR>
<math>\int_{a}^{b}{ f(x) dx}</math> \cong T(f, a, b) = f(a) + (x - a) ((f(b) - f(a)) / (b - a))<BR>
En nuestro caso:<BR>
<math> = f(0) + (1 - 0) ((f(1) - f(0)) / (1 - 0))</math><BR>
<math> = 0 + 1 (0 - 0) / 1</math><BR>
<math> = 1</math><BR>
====Ejercicio 2.b====
'''Regla de los Trapecios, primero en el [0, 1/2] y luego en [1/2, 1].'''<BR>
En nuestro caso entre 0 y 1/2:<BR>
<math>= f(0) + (1/2 - 0) ((f(1/2) - f(0)) / (1/2 - 0))</math><BR>
<math>= 0 + (1/2) (1/2 - 0) / (1/2 - 0)</math><BR>
<math>= 1/2</math><BR>


En nuestro caso entre 1/2 y 1:<BR>
<math>\Longleftrightarrow \lambda = -1</math>.
<math>= f(1/2) + (1 - 1/2) ((f(1) - f(1/2)) / (1/2 - 1))</math><BR>
<math>= 1/2 + (1/2) (0 - 1/2) / (1/2)</math><BR>
<math>= 1/2 - 1/2</math><BR>
<math>= 0</math><BR>


Uniendo los dos nos queda un total de 1/2.
Entonces el punto más cercano es <math>t = (2, 1, 0) + (-1) (1, 1, -1) = (1, 0, 1)</math>


====Ejercicio 2.c====
==Ejercicio 2==
'''Regla de Simpson en el [0, 1].'''<BR>
'''Sean <math>a, b \in \mathbb{R}^n</math> fijos. ¿Qué número real t hace que <math>|| a-t*b\||_2</math> sea mínimo'''<br>
En general:<BR>
Minimizar <math>|| a-t*b||</math> es lo mismo que minimizar <math>|| a-t*b||^2</math> pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion <math>f(t)</math> y minimizemosla: <br>
<math>\int_a^b {f(x) dx} \cong Simpson(f, a, b)</math><BR>
<math>f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 </math><br>
<math>= (b - a)/6 (f(a) + 4 f((a + b) /2) + f(b))</math><BR>
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
En nuestro caso entre 0 y 1:<BR>
<math> f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' </math><br>
<math>= (1 - 0)/6 (f(0) + 4 f((0 + 1) /2) + f(1))</math><BR>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) </math><br>
<math>= 1/6 (0 + 4 f(1/2) + 0)</math><BR>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math>= 1/6 (4 1/2)</math><BR>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math>= 1/3</math><BR>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i =  t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} =  t </math><br>


====Ejercicio 2.d====
Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular <math>f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})</math> y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...
'''¿Cumple f(x) las condiciones del Teorema del error?'''<BR>
La funcion no es C^2, y menos C^4, por lo que no las cumple toda entera... Aunque si la partimos en los dos pedazos en donde esta partida, si los cumple.


==Ejercicio 3==
==Ejercicio 3==
'''Verificar que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado <= 4: <BR>'''
'''Sea <math>A \in \mathbb{R}^{nxm}</math>. Se define el espacio columna de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las filas de A.'''
'''<math>\int_{0}^{1}{ f(x)dx}</math> \cong 1/90 [7 f(0) + 32 f(/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]<BR>'''
====Ejercicio 3. a====
'''(Sug.: tomar f(x) = 1, f(x) = x, etc.).'''<BR>
'''Probar que el espacio columna de A es <math>Im(A)</math>.'''<BR>
 
<math>v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x</math>.
Como <math>\int_{0}^{1}{ f(x) dx}</math> y lo que aparece del otro lado son dos transformaciones lineales, con mostrar que la igualdad es cierta para una base de los polinomios, esto implica que es cierta para cualquier polinomio.
<math>\Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}^{n}A_{ij} wj</math>.
Tomamos la base de los polinomios monicos: {1, x, x^2, x^3, x^4} y vamos a probarlo para cada uno de ellos.<BR>
<math>\Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}^{n}wj A_{*j}</math>.
 
<math>\Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A</math>.
Para <math>1(x)</math>:
<math> \int_{0}^{1}{ 1 } = 1 </math><BR>
<math> 1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]</math><BR>
<math> = 1/90 [7 + 32 + 12 + 32 + 7]</math><BR>
<math> = 1/90 90 = 1.</math><BR>
 
 
Para <math>x(x)</math>:
<math> \int_{0}^{1}{ f(x)dx } \cong 1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]</math><BR>
<math> \int_{0}^{1}{ x dx } = 1/2</math><BR>
<math> 1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]</math><BR>
<math> = 1/90 [7 0 + 32 1/4 + 12 1/2 + 32 3/4 + 7 1]</math><BR>
<math> = 1/90 [8 + 6 + 24 + 7]</math><BR>
<math> = 1/90 45 = 1/2.</math><BR>
 
Para <math>x^2(x)</math>:
<math> \int_{0}^{1}{ f(x)dx } \cong 1/90 7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)</math><BR>
<math> \int_{0}^{1}{ x^2 dx }</math> = 1/3<BR>
<math> 1/90 [7 (0)^2 + 32 (1/4)^2 + 12 (1/2)^2 + 32 (3/4)^2 + 7 (1)^2]</math><BR>
<math> = 1/90 [7 0 + 32 1/16 + 12 1/4 + 32 9/16 + 7 1]</math><BR>
<math> = 1/90 [2 + 3 + 18 + 7]</math><BR>
<math> = 1/90 30 = 1/3</math><BR>
 
Para x^3(x):
<math>\int_{0}^{1}{ f(x)dx }</math> \cong <math>1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]</math><BR>
<math>\int_{0}^{1}{ x^3 dx } = 1/4</math><BR>
1/90 [7 (0)^3 + 32 (1/4)^3 + 12 (1/2)^3 + 32 (3/4)^3 + 7 (1)^3]</math><BR>
<math> = 1/90 [7 0 + 32 1/64 + 12 1/8 + 32 27/64 + 7 1]</math><BR>
<math> = 1/90 [1/2 + 3/2 + 27/2 + 7]</math><BR>
<math> = 1/90 45/2 = 1/4</math><BR>


Para x^4(x):
====Ejercicio 3. b====
<math> \int_{0}^{1}{ f(x)dx }</math> \cong 1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]<BR>
'''Probar que el espacio fila de A es <math>Nu(A)^{\bot}</math>.'''<BR>
<math> \int_{0}^{1}{ x^4 dx }</math> = 1/5<BR>
La idea es que alguien pertenece a <math>Nu(a)</math> solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de <math>A</math>. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de <math>A</math>, por lo que pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>. La vuelta es si pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
<math> 1/90 [7 (0)^4 + 32 (1/4)^4 + 12 (1/2)^4 + 32 (3/4)^4 + 7 (1)^4]</math><BR>
<math> = 1/90 [7 0 + 32 1/256 + 12 1/16 + 32 81/256 + 7 1]</math><BR>
<math> = 1/90 [1/8 + 3/4 + 81/8 + 7]</math><BR>
<math> = 1/90 18 = 1/5</math><BR>


'''Utilizando lo anterior, encontrar una aprox_imación para <math>\int_{a}^{b}{ f(x)dx}</math> .'''<BR>
====Ejercicio 3. c====
No tengo ni idea que espera que hagamos aca... Quizas usar la formula de polinomios del 0 al 1 para cualquier a-b, pero me parece cualquiera...
'''Probar que <math>Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)</math>.'''<BR>
<math>Im(A)</math> es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de <math>A^t</math>. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes<math>\Box</math>.


==Ejercicio 4==
==Ejercicio 4==
'''Encontrar una expresión de la forma<BR>'''
'''Sean u y v vectores ortogonales en <math>\mathbb{R}</math> entonces <math> \| u + v \|_2^2  = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 </math> (Teorema de Pitágoras).'''<BR>
<math>\int_0^{2 \pi} {f(x) dx} = A1 f(0) + A2 f(pi)</math><BR>
<math> \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)</math><BR>
'''que sea exacta para cualquier funcion del tipo f(x) = a + b cos x.<BR>'''
<math>= u \times (u + v) + v \times (u + v) </math><BR>
'''(Sug.: tomar primero f = a y luego f = b cos x).'''<P>
<math>= (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) </math>.<BR>
Como la integral de la suma es la suma de las integrales (si la misma converge), entonces podemos probar para f = a, y luego para f = b cos x y si andan para las dos, luego andara tambien para la suma.<BR>
Como u y v son ortogonales, entonces <math>(v \times u) = 0</math> y luego: <math> \| u + v \| _2^2 = (u \times u) + (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2</math><BR>
 
Para f = a:<BR>
<math> \int_0^{2 \pi} { a dx } = A1 a + A2 a</math><BR>
<math> <=> 2 pi a = (A1 + A2) a </math><BR>
<math> <=> (2 pi - (A1 + A2)) a = 0</math><BR>
<math> <=> a = 0 </math> o <math> 2 \pi </math> es igual a: (A1 + A2)) y como tiene que valer para todo a, luego debe ser la segunda, entonces: <BR>
<math> A1 + A2 = 2 pi<BR>
 
Para f = b cos x:<BR>
<math> \int_0^{2 pi} b \cos x dx = A1 b cos 0 + A2 b \cos \pi</math><BR>
<math> <=> b Integral[0 a 2 pi] cos x dx = A1 b 1 + A2 b (-1)</math><BR>
<math> <=> b (sen 2 pi - sen 0) = A1 b - A2 b</math><BR>
<math> <=> 0 = A1 b - A2 b</math><BR>
<math> <=> como tiene que valer para todo b, en particular vale para b != 0, entonces:<BR>
<math><=> 0 = A1 - A2 </math><BR>
<math><=> A1 = A2 </math><BR>
 
Uniendo las dos cosas queda que A1 = A2 = pi.


==Ejercicio 5==
==Ejercicio 5==
'''Deducir la fórmula de Newton-Cotes para <math>\int_{0}^{1}{f(x) dx}</math> usando como nodos a los puntos 0, 1/2, 1.'''<BR>
'''Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio <math>S \in \mathbb{R}^n</math>, entonces para todo <math> x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}</math>.'''<BR>
Vamos a buscar primero el polinomio interpolador de estos puntos.<BR>
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...
<math> g_0(x) = \frac{(x - \frac{1}{2}) (x - 1)}{(0 - \frac{1}{2}) (0 - 1)} </math><BR>
<math> g_0(x) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 1) </math><BR>
<math> g_0(x) = (2x - 1) (x - 1) </math><BR>
<math> g_0(x) = 2x^2 - 3x + 1 </math><BR>
 
<math> g_\frac{1}{2}(x) = \frac{(x - 0) (x - 1)}{(\frac{1}{2} - 0) (\frac{1}{2} - 1)} </math><BR>
<math> g_\frac{1}{2}(x) = -4 (x - 0) (x - 1) </math><BR>
<math> g_\frac{1}{2}(x) = -4x (x - 1) </math><BR>
<math> g_\frac{1}{2}(x) = -4x^2 + 4x </math><BR>
 
<math> g_1(x) = \frac{(x - 0) (x - \frac{1}{2})}{(1 - 0) (1 - \frac{1}{2})} </math><BR>
<math> g_1(x) = 2 (x - 0) (x - \frac{1}{2}) </math><BR>
<math> g_1(x) = x (2x - 1) </math><BR>
<math> g_1(x) = 2x^2 - x </math><BR>
 
<math> g(x) = f(0) g_0(x) + f(\frac{1}{2}) g_\frac{1}{2}(x) + f(1) g_1(x) </math><BR>
<math> g(x) = (2x^2 - 3x + 1) f(0) + (-4x^2 + 4x) f(\frac{1}{2}) + (2x^2 - x) f(1) </math><BR>
 
Ahora calculamos <math>\int_{0}^{1}{g(x) dx}</math> para aprox_imar <math>\int_{0}^{1}{f(x) dx}</math>.<BR>
<math>\int_{0}^{1}{g(x) dx} = \int_{0}^{1}{\left( (2x^2 - 3x + 1) f(0) + (-4x^2 + 4x) f(\frac{1}{2}) + (2x^2 - x) f(1) \right) dx}</math><BR>
<math> = {\left( (\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x) f(0) + (\frac{-4}{3}x^3 + 2x^2) f(\frac{1}{2}) + (\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2) f(1) \right)}|_0^1</math><BR>
<math> = \left( (\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1) f(0) + (\frac{-4}{3} + 2) f(\frac{1}{2}) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) f(1) \right)</math><BR>
 
NOTA: Si alguien sabe como poner el "evaluar desde 0 a 1" por favor cambielo.


<math> = \left( \frac{1}{2} f(0) + 10 f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} f(1) \right)</math><BR>
Ver


NOTA2: Esto esta mal, por que deberia dar igual a Simpson... Si alguno se da cuenta del error avise!!!
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html


==Ejercicio 6==
o
'''Usando el ejercicio anterior, aprox_imar <math>\int_{0}^{1}{ sin(x) dx}</math> y calcular una cota para el error cometido.'''<BR>


==Ejercicio 7==
http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html
'''Supongamos que hemos aplicado una fórmula de Newton Cotes de n puntos para aprox_imar una integral. ¿Cuál es la mínima cantidad de puntos que debemos agregar para que la fórmula de Newton Cotes correspondiente, produzca un incremento en la precisión?'''<BR>
Si n es impar debemos agregar dos puntos. Si n es par debemos agregar un solo punto. Esto se debe a que el error para Newton Cotes cualquier n, esta basado en la derivada el siguiente numero par mayor o igual a el.


==Ejercicio 8==
== Ejercicio 9 ==
'''Indicar cuántos puntos se deben tomar en la aprox_imación de <math>\int_{0}^{1}{ exp(-x^2)dx}</math> por medio de la regla de los Trapecios Compuestos para que el error sea menor que 10^(-6). Idem con la regla de Simpson Compuesta.'''<BR>
'''Supongamos que Ax = y. Probar que un vector <math>\hat x \in \mathbb{R}^m</math> satisface <math>A\hat x = y</math> si y sólo si <math>x - \hat x \in Nu(A)</math>.Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.'''
Regla de los Trapecios Compuestos:<br>
El error viene dado por la funcion: <math> -(h^3) (f''(xx) / 12) </math> con <math> xx \in (a, b) </math>.<br>
Entonces debemos acotar el valor de la segunda derivada de nuestra funcion en el intervalo 0 a 1...<br>
<math> f(x) = exp(-x^2)</math><BR>
<math> f'(x) = -2 x exp(-x^2)</math><BR>
<math> f''(x) = (4 x^2 - 2) exp(-x^2)</math><BR>
<math>  entre 0 y 1 varia entre 0 y -1.</math><BR>
<math> x \in [0, 1] \Longrightarrow -x^2 \in [0; -1]</math><BR>
<math> x \in [0, 1] \Longrightarrow |exp(-x^2)| \in [\frac{1}{e}; 1]</math><BR>
<math> |(4 x^2 - 2)| entre 0 y 1 tiene como valor max_imo al 2.</math><BR>
Entonces el error es de: <math>((b - a) (h^2) / 12) 2 = (h^2 /6) = (1/n^2) / 6</math>
<br>
Si quiero <math>10^(-6) >= (1/n^2) / 6</math>, luego<BR>
<math> <=> 6 10^(-6) >= (1/n^2)</math><BR>
<math> <=> \sqrt(6 10^(-6)) >= (1/n)</math><BR>
<math> <=> \sqrt(6 10^(-6)) >= (1/n)</math><BR>
<math> <=> n >= 1 / \sqrt(6 10^(-6))</math><BR>
<math> <=> n >= 409</math><BR>


Regla de los Simpson xD:<br>
Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que <math>Nu(A) \neq \lbrace 0 \rbrace</math>. Sea <math>z \neq 0, z \in Nu(A)</math>, entonces <math>Az = 0 \Leftrightarrow Ax + Az = b \Leftrightarrow A(x+z) = b \Leftrightarrow x+z \neq x</math> es otra solución del sistema. '''Absurdo!'''
El error viene dado por la funcion: <math>(h^4)/180 (b - a) (f^(4))(xx) </math> con <math>xx \in (a, b)</math>.<br>
<math> f''(x) = (4 x^2 - 2) exp(-x^2)</math><BR>
<math> f'''(x) = 12x e^-x^2-8x^3 e^-x^2</math><BR>
<math> f''''(x) = 16 x^4 e^(-x^2) - 48 x^2 e^(-x^2) + 12 e^(-x^2)</math><BR>
<math> |16 x^4 e^(-x^2) - 48 x^2 e^(-x^2) + 12 e^(-x^2)|</math><BR>
<math> <= |16 x^4 1 - 48 x^2 1 + 12 1|</math><BR>
<math> <= |16 x^4 - 48 x^2 + 12|</math><BR>
<math> <= |16| |x^4| + 48 |x^2| + |12|</math><BR>
<math> <= 16 + 48 + 12 = 76</math><BR>
Luego:
<math> (h^4)/180 (b - a) 76 = 76/180 (h^4) debe ser menor a 10^(-6).</math><BR>
<math> 10^(-6) >= 76/180 (1/n^4)</math><BR>
<math> <=> 10^(-6) >= 76/180 (1/n^4)</math><BR>
<math> <=> 180/76 10^(-6) >= (1/n^4)</math><BR>
<math> <=> (180/76 10^(-6))^(1/4) >= 1/n</math><BR>
<math> <=> n >= (180/76 10^(-6))^(1/4)</math><BR>
<math> <=> n >= (180/76 10^(-6))^(1/4)</math><BR>
<math> <=> n >= 26</math><BR>


==Ejercicio 9==
Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, <math>y \neq x</math>, soluciones del sistema Ax=b. Entonces <math>Ay - Az = b - b = 0 \Leftrightarrow A(y-z) = 0</math>. Pero<math> y-z \neq 0</math> y Nu(a) = {0}. '''Absurdo!'''
'''Contamos con 2n nodos igualmente espaciados, <math>x_0, x_1, . . . , x_{2n}</math>. Se calcula en la forma usual, la regla de los Trapecios Compuesta pero solamente sobre los nodos impares. Basándose en esto, se pide hallar una expresión para la regla de los Trapecios Compuesta en los 2n nodos.'''<BR>
NOTA: No estoy seguro de que quiere decir el enunciado... Interpreto que quiere que demos la formula de los Trapecios Compuesta para los 2n nodos suponiendo que ya tenemos cuanto vale la regla tomando solo los nodos impares.<BR>
En general:<BR>
<math>T(f, a, b, n) = h/2 (f(a) + 2 \sum_{j = 1}^{n-1} f(a + ((b - a) j) / n) + f(b))</math><BR>
O de otra forma:<BR>
<math>T(f, x_0, x_n, n) = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n))</math><P>


En nuestro caso particular:<BR>
==Ejercicio viejo==
<math>T(f, x_0, x_{2n}, n) = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{2n-1} f(x_i) + f(x_{2n}))</math>
La función <math> f(x) = f(x_1, x_2, ..., x_n) = \| A x - b \| </math>es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si <math>\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_m})^t = 0</math>. Calcular <math>\nabla f</math> y demostrar que <math>\nabla f(x) = 0 \Longleftrightarrow si \ A^tAx = A^tb</math> (ecuaciones normales).<BR>
<P>En los nodos impares:<BR>
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...
<math>T(f, x_0, x_{2n}, 2n) = h/2 (f(x_1) + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} f(x(2i)+1) + f(x_{2n}-1))</math><BR>
<math>T(f, x_0, x_{2n}, n):</math><BR>
<math> = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{2n-1} f(x_i) + f(x_{2n}))</math><BR>
<math> = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{n-1} f(x2i) + 2 \sum_{i = 0}^{n-1}<BR> f(x(2i)+1) + f(x_{2n}))</math><BR>
<math> = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{n-1} f(x2i) + f(x_1) + f(x_1) + f(x_{2n}-1)</math><BR>
<math> + f(x_{2n}-1) + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} f(x(2i)+1) + f(x_{2n}))</math><BR>
<math> = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{n-1} f(x2i) + f(x_1) + f(x_{2n}-1) + f(x_{2n})</math><BR>
<math> + f(x_1) + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} f(x(2i)+1) + f(x_{2n}-1))</math><BR>
<math> = h/2 (f(x_0) + 2 \sum_{i = 1}^{n-1} f(x2i) + f(x_1) + f(x_{2n}-1) + f(x_{2n})) + TrapeciosImpares(f, x_0, x_{2n}, n)</math><BR>


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Revisión actual - 03:18 1 nov 2023

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Ejercicio 1[editar]

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)? Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \{ x + y - z = 0 \}} . El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t= (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) } que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0. Entonces t está en S Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \lambda = -1} .

Entonces el punto más cercano es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = (2, 1, 0) + (-1) (1, 1, -1) = (1, 0, 1)}

Ejercicio 2[editar]

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b \in \mathbb{R}^n} fijos. ¿Qué número real t hace que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b\||_2} sea mínimo
Minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b||} es lo mismo que minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b||^2} pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t)} y minimizemosla:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 }
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i = t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} = t }

Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})} y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

Ejercicio 3[editar]

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{nxm}} . Se define el espacio columna de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las filas de A.

Ejercicio 3. a[editar]

Probar que el espacio columna de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}^{n}A_{ij} wj} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}^{n}wj A_{*j}} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A} .

Ejercicio 3. b[editar]

Probar que el espacio fila de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} .
La idea es que alguien pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(a)} solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , por lo que pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} . La vuelta es si pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

Ejercicio 3. c[editar]

Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^t} . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antesError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Box} .

Ejercicio 4[editar]

Sean u y v vectores ortogonales en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \|_2^2 = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 } (Teorema de Pitágoras).
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = u \times (u + v) + v \times (u + v) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) } .
Como u y v son ortogonales, entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v \times u) = 0} y luego: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u \times u) + (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2}

Ejercicio 5[editar]

Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \in \mathbb{R}^n} , entonces para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}} .
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

Ejercicio 9[editar]

Supongamos que Ax = y. Probar que un vector Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat x \in \mathbb{R}^m} satisface Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\hat x = y} si y sólo si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x - \hat x \in Nu(A)} .Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.

Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que . Sea , entonces es otra solución del sistema. Absurdo!

Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, , soluciones del sistema Ax=b. Entonces . Pero y Nu(a) = {0}. Absurdo!

Ejercicio viejo[editar]

La función es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si . Calcular y demostrar que (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...

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