Práctica 8 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 1[editar]

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0. Entonces t está en S

.

Entonces el punto más cercano es

Ejercicio 2[editar]

Sean fijos. ¿Qué número real t hace que sea mínimo
Minimizar es lo mismo que minimizar pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion y minimizemosla:

Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.






Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

Ejercicio 3[editar]

Sea . Se define el espacio columna de A como el subespacio de generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de generado por las filas de A.

Ejercicio 3. a[editar]

Probar que el espacio columna de A es .
. . . .

Ejercicio 3. b[editar]

Probar que el espacio fila de A es .
La idea es que alguien pertenece a solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de , por lo que pertenece a . La vuelta es si pertenece a , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

Ejercicio 3. c[editar]

Probar que .
es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes.

Ejercicio 4[editar]

Sean u y v vectores ortogonales en entonces (Teorema de Pitágoras).


.
Como u y v son ortogonales, entonces y luego:

Ejercicio 5[editar]

Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio , entonces para todo .
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

Ejercicio 9[editar]

Supongamos que Ax = y. Probar que un vector satisface si y sólo si .Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.

Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que . Sea , entonces es otra solución del sistema. Absurdo!

Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, , soluciones del sistema Ax=b. Entonces . Pero y Nu(a) = {0}. Absurdo!

Ejercicio viejo[editar]

La función es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si . Calcular y demostrar que (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...