Edición de «Práctica 8 (Métodos Numéricos)»

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==Ejercicio 1==
'''¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?'''<BR>
<math> S = \{ x + y - z = 0 \}</math>. El vector normal al plano es (1, 1, -1).<BR>
Entonces buscamos un <math>t= (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) </math> que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0.
Entonces t está en S <math>\Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 </math>

<math>\Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0</math>

<math>\Longleftrightarrow \lambda = -1</math>.

Entonces el punto más cercano es <math>t = (2, 1, 0) + (-1) (1, 1, -1) = (1, 0, 1)</math>

==Ejercicio 2==
'''Sean <math>a, b \in \mathbb{R}^n</math> fijos. ¿Qué número real t hace que <math>|| a-t*b\||_2</math> sea mínimo'''<br>
Minimizar <math>|| a-t*b||</math> es lo mismo que minimizar <math>|| a-t*b||^2</math> pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion <math>f(t)</math> y minimizemosla: <br>
<math>f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 </math><br>
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
<math> f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' </math><br>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) </math><br>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i =  t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} =  t </math><br>

Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular <math>f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})</math> y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

==Ejercicio 3==
'''Sea <math>A \in \mathbb{R}^{nxm}</math>. Se define el espacio columna de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las filas de A.'''
====Ejercicio 3. a====
'''Probar que el espacio columna de A es <math>Im(A)</math>.'''<BR>
<math>v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x</math>.
<math>\Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}^{n}A_{ij} wj</math>.
<math>\Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}^{n}wj A_{*j}</math>.
<math>\Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A</math>.

====Ejercicio 3. b====
'''Probar que el espacio fila de A es <math>Nu(A)^{\bot}</math>.'''<BR>
La idea es que alguien pertenece a <math>Nu(a)</math> solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de <math>A</math>. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de <math>A</math>, por lo que pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>. La vuelta es si pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

====Ejercicio 3. c====
'''Probar que <math>Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)</math>.'''<BR>
<math>Im(A)</math> es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de <math>A^t</math>. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes<math>\Box</math>.

==Ejercicio 4==
'''Sean u y v vectores ortogonales en <math>\mathbb{R}</math> entonces <math> \| u + v \|_2^2  = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 </math> (Teorema de Pitágoras).'''<BR>
<math> \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)</math><BR>
<math>= u \times (u + v) + v \times (u + v) </math><BR>
<math>= (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) </math>.<BR>
Como u y v son ortogonales, entonces <math>(v \times u) = 0</math> y luego: <math> \| u + v \| _2^2 = (u \times u) +  (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2</math><BR>

==Ejercicio 5==
'''Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio <math>S \in \mathbb{R}^n</math>, entonces para todo <math> x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}</math>.'''<BR>
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

== Ejercicio 9 ==
'''Supongamos que Ax = y. Probar que un vector <math>\hat x \in \mathbb{R}^m</math> satisface <math>A\hat x = y</math> si y sólo si <math>x - \hat x \in Nu(A)</math>.Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.'''

Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que <math>Nu(A) \neq \lbrace 0 \rbrace</math>. Sea <math>z \neq 0, z \in Nu(A)</math>, entonces <math>Az = 0 \Leftrightarrow Ax + Az = b \Leftrightarrow A(x+z) = b \Leftrightarrow x+z \neq x</math> es otra solución del sistema. '''Absurdo!'''

Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, <math>y \neq x</math>, soluciones del sistema Ax=b. Entonces <math>Ay - Az = b - b = 0 \Leftrightarrow A(y-z) = 0</math>. Pero<math> y-z \neq 0</math> y Nu(a) = {0}. '''Absurdo!'''

==Ejercicio viejo==
La función <math> f(x) = f(x_1, x_2, ..., x_n) = \| A x - b \| </math>es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si <math>\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_m})^t = 0</math>. Calcular <math>\nabla f</math> y demostrar que <math>\nabla f(x) = 0 \Longleftrightarrow si \ A^tAx = A^tb</math> (ecuaciones normales).<BR>
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...

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