Práctica 1 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 7

Sean A,B e Rnxn. Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B para que valga la igualdad (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. Idem para que (A + B)(A - B) = A2 - B2

• (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 <=> AB+BA =2AB <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

• (A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2 <=> -AB+BA =0 <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

Ejercicio 8

Sea A e Rnxn y m e N, probar la igualdad (I - A)(I + A + ... + A^m) = (I + A + ... + A^m)(I - A) = I - A^m+1

• (I - A)(I + A + ... + A^m) = I^2 + IA + ... + IA^m - AI - A^2 - ... - A^m+1 = I + A + ... + A^m - A - A^2 - ... - A^m+1 = I - A^m+1

• (I + A + ... + A^m)(I - A) = I^2 - IA + AI - A^2 + A^2 I - A^3 + ... + A^m I - A^m+1 = (I - A) + (A - A^2) + (A^2 - A^3) + ... + (A^m - A^m+1) = I - A^m+1