Práctica 1 (Métodos Numéricos)

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Nota: Rn está formado por vectores columna. Cuando se escriben por filas es por comodidad tipográfica.

Ejercicio 1[editar]

Dadas las matrices , , y los vectores columna , (donde la notación representa el elemento que está en la fila i y en la columna j de la matriz A y la notación xi representa el elemento i-esimo del vector x), decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y en este último caso justificar por qué lo son.

a) FALSA

b) FALSA (El resultado es una matriz )

c) VERDADERA

d) FALSA

Ejercicio 7[editar]

Sean A,B e Rnxn. Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B para que valga la igualdad (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. Idem para que (A + B)(A - B) = A2 - B2

  • (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 <=> AB+BA =2AB <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.
  • (A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2 <=> -AB+BA =0 <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

Ejercicio 8[editar]

Sea A e Rnxn y m e N, probar la igualdad

(I - A)(I + A + ... + A^m) = (I + A + ... + A^m)(I - A) = I - A^m+1

  • (I - A)(I + A + ... + A^m) = I^2 + IA + ... + IA^m - AI - A^2 - ... - A^m+1 = I + A + ... + A^m - A - A^2 - ... - A^m+1 = I - A^m+1
  • (I + A + ... + A^m)(I - A) = I^2 - IA + AI - A^2 + A^2 I - A^3 + ... + A^m I - A^m+1 = (I - A) + (A - A^2) + (A^2 - A^3) + ... + (A^m - A^m+1) = I - A^m+1

Ejercicio 9[editar]

Determinar si los siguientes conjuntos de Rn son linealmente independientes. Cuando no lo sean, escribir uno de sus elementos como combinación lineal del resto.

a) C = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 0), (3, 2, 4, 1)} C R4

b) C = {(3, 3, 3), (2, 1, 0), (7, 5, 3)} C R3

a) LI

b) LD (3,3,3) + 2 (2,1,0) = (7,5,3)

Ejercicio 12[editar]

Sea A e Rmxn. Demostrar que T(x) = Ax es una transformación lineal.

Una transformación (o mapeo) T es lineal si:

  • (i) T(u + v) = T(u) + T(v) para toda u, v en el dominio de T
  • (ii) T(cu) = cT(u) para toda u y todos los escalares c.

Teorema: Si A es una matriz de m × n, u y v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces

  • a. A(u + v) = Au + Av
  • b. A(cu) = c(Au)
  • T(x) = Ax
  • T(y) = Ay
  • T(x) + T(y) = Ax + Ay = A(x + y) = T(x + y)
  • cT(x) = cAx = Acx = T(cx)