Edición de «Final 30/07/2013 (Álgebra I)»

{{Back|Álgebra I}}
==Ejercicio 1==
Sea

<math>a_{i}=\left\{\begin{matrix}
1 & i=1\\ 
3 & i=2\\ 
\frac{1}{2}(a_{i-2}+a_{i-1}) & i>2
\end{matrix}\right.</math>

Pruebe que

i) <math>a_{1} \lt a_{3} \lt a_{5} \lt ...</math> y <math>a_{2} \gt a_{4} \gt a_{6}>...</math>

ii) <math>a_{n}=\frac{7}{3}-\frac{4}{3}\left (\frac{-1}{2}\right ) ^ {n-1}</math> para todo <math>n \in \mathbb{N} </math>.

==Ejercicio 2==
Sean <math>A</math> y <math>B</math> conjuntos finitos de cardinal <math>n</math> y <math>m</math> respectivamente. Sean <math>x</math> e <math>y</math> dos elementos distintos de <math>A</math>. Calcular cuantas funciones <math>F:a\rightarrow b</math> hay tales que <math>f(x)=f(y)</math>
==Ejercicio 3==
Pruebe que si el dígito de las unidades de un número entero <math>a</math> es tres, entonces el dígito de las unidades de <math>a^{n}</math> es 1, 3, 7 o 9, para cada número natural <math>n</math>. Diga cuándo se da cada uno de estos resultados.
==Ejercicio 4==
Determinar los <math>z\in \mathbb{C}</math> tales que

<math>|z|=\frac{1}{|z|}=|1-z|</math>.

==Ejercicio 5==
Sea <math>P\in \mathbb{R}[X]</math>. Supóngase que el resto de dividir <math>P</math> por <math>X-1</math> es <math>a</math> y el resto de dividir <math>P</math> por <math>X-2</math> es <math>b</math>. ¿Cuál es el resto de dividir <math>P</math> por <math>(X-1)(X-2)</math>?