Edición de «Final 28/12/2012 (Probabilidad y Estadística)»

== Ejercicio 1 ==
a) Sea <math>X</math> una variable aleatoria con distribución <math>P(\lambda)</math>. Hallar su función generadora de momentos, esperanza y varianza.

b) Sean <math>X\sim P(\lambda)</math> e <math>Y\sim P(\lambda)</math> variables aleatorias independientes. Deduzca la distribución de <math>X+Y</math>. ¿Es alguna distribución conocida?


== Ejercicio 2 ==
a) Enunciar y probar el teorema de la probabilidad total.

b) Dar un ejemplo de aplicación del teorema.

c) Sean <math>A</math>, <math>B</math> eventos de un espacio muestral <math>S</math>. Probar que si <math>A</math> y <math>B</math> son independientes, entonces también lo son <math>A</math> y <math>B^c</math>.


== Ejercicio 3 ==
Sean <math>T_n</math> y <math>W_n</math> dos estimadores insesgados de <math>\theta</math>:

a) Si se combinan para formar un nuevo estimador dado por <math>\overset{\sim}{\theta}^n= \alpha T_n + \beta W_n</math> donde <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> son constantes. ¿Qué condiciones son necesarias sobre <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> tal que <math>\overset{\sim}{\theta}</math> sea insesgado?

b) Si <math>T_n</math> y <math>W_n</math> son independientes y tienen varianza <math>V(T_n)</math> y <math>V(W_n)</math> respectivamente, calcular la varianza de <math>\overset{\sim}{\theta}</math>.

c) Bajo las condiciones de b). ¿Cuál es la elección de <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> que minimiza la varianza de <math>\overset{\sim}{\theta}</math> y hace que <math>\overset{\sim}{\theta}</math> sea insesgado?


== Ejercicio 4 ==
a) Enuncie el Teorema central del límite.

b) Sean <math>X_1,X_2,...X_n</math> v.a.i.i.d. tales que <math>X_i\sim Bi(1,p)</math> y sea <math>n</math> suficientemente grande. Deducir un intervalo de confianza de nivel aproximado <math>1-\alpha</math> para <math>p</math>.

c) Se llama <math>chance</math> al coeficiente <math>c(p) = \frac{p}{1-p}</math>.
* Probar que si <math>p > q</math> entonces <math>c(p) > c(q)</math>.
* Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado <math>1-\alpha</math> para <math>\frac{p}{1-p}</math>.