Edición de «Final 28/07/2015 (Álgebra I)»

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==Ejercicio 1==
Sea <math>\Re</math> la relación en <math>A := \{10,...,1000\}</math> definida por <math>(n:m) \neq 1</math>.

# Determinar si <math>\Re</math> es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva.
# Encuentre la cantidad de <math> m \in A</math> tales que <math> m \Re 12</math>.

==Ejercicio 2==
Sea <math> a \in \mathbb{Z}</math> tal que <math>(a^{182} - 26 : 130) = 13. \  Calcular \ (a^{25} - 39 : 2 \cdot 5^{3} \cdot 13^{2})</math>.

==Ejercicio 3==
Para cada <math> n \in \mathbb{N}</math>, encuentre el resto de dividir por <math>7</math> a <math>n^{3n}</math> en términos de una congruencia apropiada de <math>n</math>.

==Ejercicio 4==
Sea <math>f \in \mathbb{Q}[X]</math> el polinomio <math>f = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1</math>.

# Pruebe que <math>f</math> es irreducible en <math>\mathbb{Q}[X]</math>.
# Para cada número natural <math>n</math> calcule <math>(f : X^n -1)</math>.
# Pruebe que si <math>p \in \mathbb{Q}[X]</math> tiene como raíz a alguna raíz quinta primitiva de la unidad, entonces todas las raíces quintas primitivas de la unidad son raíces de <math>p</math>.