Edición de «Final 26/07/2016 (Probabilidad y Estadística)»

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Resuelva solamente 6 ejercicios, 3 de cada parte. Se aprueba con 4 ejercicios bien hechos, 2 de los cuales deben ser de cada parte. Indique cuáles eligió. Justifique todas sus respuestas.

== Primera parte ==

=== Ejercicio 1 ===
# Enunciar y demostrar la Fórmula de Bayes.
# Una enfermedad ataca al 2% de la población. Una empresa farmacéutica publicita un nuevo test para detectar la enfermedad, con una tasa de falsos negativos del 3% y una tasa de falsos positivos del 1%. Calcular la probabilidad de realmente estar enfermo, cuando el test dio positivo.

=== Ejercicio 2 ===
# Sean <math>X</math> e <math>Y</math> variables aleatorias continuas e independientes, con densidades <math>f_X</math> y <math>f_Y</math>, respectivamente. Hallar la densidad de <math>X + Y</math>.
# Identificar la distribución de <math>X + Y</math>, si <math>X</math> e <math>Y</math> son variables exponenciales independientes de igual parámetro <math>\lambda</math>.

=== Ejercicio 3 ===
# Definir independencia para una familia <math>(A_i, i \in I)</math>, donde <math>A_i</math> son eventos e <math>I</math> es un conjunto cualquiera.
# Dar un ejemplo de tres eventos independientes dos a dos, pero no dependientes.

=== Ejercicio 4 ===
Sean <math>X</math> e <math>Y</math> i.i.d. continuas con distribución común <math>F</math> y densidad <math>f</math>.
# Probar que <math>V = \max\{ X, Y\}</math> tiene distribución <math>\mathbb{P}(V \leq x) = F(x)^2</math>, y densidad <math>f_V(x) = 2 f(x) F(x)</math>.
# Hallar la densidad de <math>U = \min\{ X, Y \}</math>.

=== Ejercicio 5 ===
El contenido de cada botella de una bebida sigue una distribución <math>N(600, 400)</math>, medido en ml. Los contenidos de distintas botellas son variables independientes. Estimar <math>P(|\bar{X} - 600| > 10)</math>, donde <math>\bar{X}</math> es el contenido promedio de 5000 botellas. Justificar.

== Segunda parte ==

=== Ejercicio 1 ===
# Construir un intervalo de confianza de nivel <math>1 - \alpha</math>, <math>0 < \alpha < 1</math>, para la media de la normal con varianza <math>\sigma^2</math> conocida.
# A partir del intervalo hallado, construir un test de hipótesis de nivel <math>\alpha</math> para <math>H_0 : \mu = \mu_0</math> vs. <math>H_1 : \mu \neq \mu_0</math>, indicando el estadístico usado y la región de rechazo.

=== Ejercicio 2 ===
Sean <math>\{ X_i \}_{i \geq 1}</math> variables aleatorias independientes con distribución Bernoulli(<math>p</math>).
# ¿Qué distribución tiene <math>\sum_{i=1}^n X_i</math>?
# Hallar los estimadores de momentos y de máxima verosimilitud de <math>p</math>.
# Decidir si los estimadores hallados en (b) son insesgados, o calcular su sesgo. Decidir si son consistentes. Justificar.

=== Ejercicio 3 ===
# Definir la función generadora de momentos <math>M_t(X)</math> de una variable aleatoria <math>X</math>.
# Calcular <math>M_t(X)</math> si <math>X \sim exp(\lambda)</math>.
# Enunciar y probar el Teorema Central del Límite. En caso de utilizar propiedades de la función generadora de momentos, enunciarlas.

=== Ejercicio 4 ===
Supongamos que el número de goles que marca un equipo de fútbol está dado por un proceso de Poisson de tasa <math>\lambda</math>, con el tiempo medido en minutos. En una cierta fecha se enfrentan Independiente y Racing. Sean <math>\lambda_I</math> y <math>\lambda_R</math> las respectivas tasas de los procesos de Poisson, que suponemos independientes.
# Calcular la probabilidad de que gane Independiente 2 a 1.
# Ya ha terminado el primer tiempo. Si se sabe que Racing va ganando 2 a 0, ¿cuál es la probabilidad de que el primer gol haya ocurrido durante los primeros 15 minutos, y el segundo antes de los primeros 30 minutos?

=== Ejercicio 5 ===
Sean <math>X_1, ..., X_n</math> variables aleatorias independientes con media <math>E(X_i) = 0</math> y varianza <math>V(X_i) = 1 - \frac{1}{3^i}</math>.
# Sea <math>\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i</math>. Calcular <math>E(\bar{X}_n)</math> y <math>V(\bar{X}_n)</math>.
# Hallar el límite en probabilidad de <math>\bar{X}_n</math> cuando <math>n \to \infty</math>.