Final 26/07/2016 (Probabilidad y Estadística)

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Resuelva solamente 6 ejercicios, 3 de cada parte. Se aprueba con 4 ejercicios bien hechos, 2 de los cuales deben ser de cada parte. Indique cuáles eligió. Justifique todas sus respuestas.

Primera parte[editar]

Ejercicio 1[editar]

  1. Enunciar y demostrar la Fórmula de Bayes.
  2. Una enfermedad ataca al 2% de la población. Una empresa farmacéutica publicita un nuevo test para detectar la enfermedad, con una tasa de falsos negativos del 3% y una tasa de falsos positivos del 1%. Calcular la probabilidad de realmente estar enfermo, cuando el test dio positivo.

Ejercicio 2[editar]

  1. Sean e variables aleatorias continuas e independientes, con densidades y , respectivamente. Hallar la densidad de .
  2. Identificar la distribución de , si e son variables exponenciales independientes de igual parámetro .

Ejercicio 3[editar]

  1. Definir independencia para una familia , donde son eventos e es un conjunto cualquiera.
  2. Dar un ejemplo de tres eventos independientes dos a dos, pero no independientes.

Ejercicio 4[editar]

Sean e i.i.d. continuas con distribución común y densidad .

  1. Probar que tiene distribución , y densidad .
  2. Hallar la densidad de .

Ejercicio 5[editar]

El contenido de cada botella de una bebida sigue una distribución , medido en ml. Los contenidos de distintas botellas son variables independientes. Estimar , donde es el contenido promedio de 5000 botellas. Justificar.

Segunda parte[editar]

Ejercicio 1[editar]

  1. Construir un intervalo de confianza de nivel , , para la media de la normal con varianza conocida.
  2. A partir del intervalo hallado, construir un test de hipótesis de nivel para vs. , indicando el estadístico usado y la región de rechazo.

Ejercicio 2[editar]

Sean variables aleatorias independientes con distribución Bernoulli().

  1. ¿Qué distribución tiene ?
  2. Hallar los estimadores de momentos y de máxima verosimilitud de .
  3. Decidir si los estimadores hallados en (b) son insesgados, o calcular su sesgo. Decidir si son consistentes. Justificar.

Ejercicio 3[editar]

  1. Definir la función generadora de momentos de una variable aleatoria .
  2. Calcular si .
  3. Enunciar y probar el Teorema Central del Límite. En caso de utilizar propiedades de la función generadora de momentos, enunciarlas.

Ejercicio 4[editar]

Supongamos que el número de goles que marca un equipo de fútbol está dado por un proceso de Poisson de tasa , con el tiempo medido en minutos. En una cierta fecha se enfrentan Independiente y Racing. Sean y las respectivas tasas de los procesos de Poisson, que suponemos independientes.

  1. Calcular la probabilidad de que gane Independiente 2 a 1.
  2. Ya ha terminado el primer tiempo. Si se sabe que Racing va ganando 2 a 0, ¿cuál es la probabilidad de que el primer gol haya ocurrido durante los primeros 15 minutos, y el segundo antes de los primeros 30 minutos?

Ejercicio 5[editar]

Sean variables aleatorias independientes con media y varianza .

  1. Sea . Calcular y .
  2. Hallar el límite en probabilidad de cuando .