Diferencia entre revisiones de «Final 26/06/2017 (Análisis II)»
| Línea 8: | Línea 8: | ||
Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}</math>. | ||
Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | ||
<math>f(x,y)= | <br><br><math>f(x,y)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | \dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | ||
| Línea 14: | Línea 14: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>. | </math>. | ||
Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | <br><br>Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | ||
== Ejercicio 4 == | == Ejercicio 4 == | ||
Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | ||
<br>Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | <br>Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | ||
<br>Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> | <br>Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> | ||
Revisión del 21:21 1 ago 2017
Ejercicio 1
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}} una función diferenciable en un punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathbb{R}^2 } y sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V \in \mathbb{R}^2 \ / \ \Vert V \Vert = 1 } . Probar que existe la derivada direccional Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_v(P)} y es igual a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle \nabla F(P) , V\rangle} . Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.
Ejercicio 2
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F: B_r(P) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}} una función diferenciable en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} . Probar que para todos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q,R \in B_r(P)} existe un Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_0} en el segmento que une Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q} con Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(R)-F(Q) = \langle \nabla F(P_0) , R-Q \rangle} .
Ejercicio 3
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}
diferenciable tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}}
.
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}
con
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ 0 & \text{ si } (x,y)=(0,1) \end{cases} }
.
Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f}
es continua pero no diferenciable.
Ejercicio 4
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}
continua tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_2^4 g(t) dt = 2}
.
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}}
y sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}}
.
Calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_D f(x,y) dx dy}
