Final 26/06/2017 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función diferenciable en $P\in \mathbb {R} ^{2}$ y sea $V\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ \Vert V\Vert =1$, probar que existe la derivada direccionar $F_{v}(P)$ y es igual a $\langle \nabla F(P),Vrlangle$. Deducir que el gradiente es la direccion de máximo crecimiento.

Ejercicio 2

Sea $F:B_{r}(P)\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una funcion diferenciable en $P$ probar que para todos $Q,R\in B_{r}(P)$ existe un $P_{0}$ en el segmento que une $Q$ y $R$ tal que $F(R)-F(Q)=<\nabla F(P_{0}),R-Q>$

Ejercicio 3

Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ diferenciable tal que $g(x,1)=4\forall x\in \mathbb {R}$ Sea $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ $((Ayudanoseescribiresto))$ Probar que $F$ es continua pero no diferenciable