Edición de «Final 26/06/2017 (Análisis II)»

== Ejercicio 1 ==
Sea <math> F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una función diferenciable en un punto <math> P \in \mathbb{R}^2 </math> y sea <math> V \in \mathbb{R}^2 \ / \ \Vert V \Vert = 1 </math>. Probar que existe la derivada direccional <math>F_v(P)</math> y es igual a <math> \langle \nabla F(P) , V\rangle</math>. Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math> F: B_r(P) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una función diferenciable en <math>P</math>. Probar que para todos <math>Q,R \in B_r(P)</math> existe un <math>P_0</math> en el segmento que une <math>Q</math> con <math>R</math> tal que <math>F(R)-F(Q) = \langle \nabla F(P_0) , R-Q \rangle</math>.

== Ejercicio 3 ==
Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R},  g(0,y)=4 \ \forall \ y \in \mathbb{R},  g(x,x+1)=x^2+4 \ \forall \ x \in \mathbb{R} </math>.
Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con
<br><br><math>f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+(y-1)^2} } & \text{     si }(x,y) \neq (0,1) \\
 0 & \text{     si } (x,y)=(0,1)
\end{cases}
</math>.
<br><br>Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable.

== Ejercicio 4 ==
Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>.
Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>.
Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math>