Final 26/03/2016 (Álgebra I)

Final de Javier Etcheverry. Tiempo: 4 horas.

Ejercicio 1

¿Cuál es el máximo número de regiones determinadas por $n$ rectas en el plano?

Establecer una recurrencia, dar una formula explicita y demostrarla por inducción

Ejercicio 2

Sea $n\in \mathbb {N}$, $n=2^{k}$, probar que ω es una raíz primitiva $n$-ésima de la unidad $\leftrightarrow$ ω es raíz de $P_{k}=X^{2^{k-1}}+1$

Ejercicio 3

Sea $p$ un primo positivo:

• a) Demuestre que ${p \choose i}$ es divisible por $p\ ;1\leq i<p$

• b) Deduzca que si $a,\ b\in \mathbb {Z} ;\ (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}(mod\ p)$

Ejercicio 4

Hallar todos los $a\in \mathbb {Z}$ tales que:

$(3a^{98}-5a^{50}+4:140a)=14$