Diferencia entre revisiones de «Final 26/02/2016 (Análisis II)»
(Página creada con «1. Sea <math>f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}</math> de clase <math>C^1</math> que verifica: i) <math>f(1,2) < 0</math> ii) Existe una sucesión <math>(Q_n)_n </math>...») |
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i) <math>f(1,2) < 0</math> | i) <math>f(1,2) < 0</math> | ||
ii) Existe una sucesión <math>(Q_n)_n </math> de puntos de <math>\mathbb{R}^2</math> tales que <math>lim_{n \to \infty} f(Q_n) = +\infty</math> | ii) Existe una sucesión <math>(Q_n)_n </math> de puntos de <math>\mathbb{R}^2</math> tales que <math>\lim_{n \to \infty} f(Q_n) = +\infty</math> | ||
| Línea 11: | Línea 11: | ||
b) Si existen dos puntos distintos <math>P, Q / f(P) = f(Q) = 0</math>, entonces existe un punto <math>R \in \mathbb{R}^2 / \nabla f(R)</math> es perpendicular al vector <math>P - Q </math>. | b) Si existen dos puntos distintos <math>P, Q / f(P) = f(Q) = 0</math>, entonces existe un punto <math>R \in \mathbb{R}^2 / \nabla f(R)</math> es perpendicular al vector <math>P - Q </math>. | ||
2. <math>f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} </math> continua, que verifica: | |||
i)<math>f(x) \geq 0 \forall x \geq 0</math> | |||
ii) Existe <math>a > 0 / f(x) \geq a </math> para todo <math>x</math> entre <math>0</math> y <math>\frac{1}{2}</math> | |||
iii) <math>f(x) = f(x+n) </math> para todo <math> x \geq 0 </math> y <math> \forall n \in \mathbb{N}</math> | |||
Probar que: | |||
a) <math> \int_{0}^{1} f(x) dx > 0 </math> | |||
b) <math> \forall n \in {N} </math> vale que <math>\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{n}^{n+1} f(x) dx</math> | |||
c) <math> \int_{0}^{+\infty} f(x) dx = +\infty </math> | |||
3. <math>f</math> es diferenciable en <math>P \in \mathbb{R}^2</math> y <math>V \in \mathbb{R}^2 / ||</math> | |||
Revisión del 17:47 26 feb 2016
1. Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} que verifica:
i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(1,2) < 0}
ii) Existe una sucesión Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (Q_n)_n } de puntos de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} tales que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(Q_n) = +\infty}
Probar que:
a) Existe Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathbb{R}^2 / f(P) = 0}
b) Si existen dos puntos distintos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P, Q / f(P) = f(Q) = 0} , entonces existe un punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R \in \mathbb{R}^2 / \nabla f(R)} es perpendicular al vector Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P - Q } .
2. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} }
continua, que verifica:
i)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x) \geq 0 \forall x \geq 0}
ii) Existe Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a > 0 / f(x) \geq a } para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} entre Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}}
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x) = f(x+n) } para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \geq 0 } y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}}
Probar que:
a) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx > 0 }
b) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall n \in {N} } vale que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{n}^{n+1} f(x) dx}
c) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx = +\infty }
3. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f}
es diferenciable en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathbb{R}^2}
y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V \in \mathbb{R}^2 / ||}
