Edición de «Final 23/07/2013 (Análisis II)»

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== Ejercicio 1 ==
== Ejercicio 1 ==
Sea <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> continua. Probar que <math>f</math> es integrable en <math>[a,b]</math>
Sea f:[a,b]->R continua. Probar que f es integrable en [a,b]
== Ejercicio 2 ==
== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}</math> de clase <math>C^{1}</math> y <math>g: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}</math> definida por
Sea f:R2->R de clase C1 y g: R2->R definida por


<math>g(x,y)=f(e^{x^{2}+y}, sen(2xy))</math>
g(x,y)=f(e^(x^2+y),sen(2xy))


Supongamos que el plano tangente al gráfico de <math>f</math> en el punto <math>(1,0,f(1,0))</math> está dado por <math>z-4x+2y=1</math>.
Supongamos que el plano tangente al gráfico de f en el punto (1,0,f(1,0)) está dado por z-4x+2y=1.


Encontrar la dirección en la que la función <math>z=g(x,y)</math> crece más rápidamente en el punto <math>(0,0)</math>.
Encontrar la dirección en la que la función z=g(x,y) crece más rápidamente en el punto (0,0).
== Ejercicio 3 ==
== Ejercicio 3 ==
Sea <math>P \in \mathbb{R}^{2}</math> un punto en el plano y <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^{1}</math> tal que <math>F(X)=0</math> si y solo si <math>X=P</math>. Probar que <math>\nabla F(P)=0</math>.
Sea P \in R2 un punto en el plano y F:R2->R una función de clase C1 tal que F(X)=0 si y solo si X=P. Probar que ∇F(P)=0.
== Ejercicio 4 ==
== Ejercicio 4 ==
a) Sea <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable en un punto <math>P</math>. Probar que <math>f</math> es continua en <math>P</math> y que existen las derivadas parciales de <math>f</math> en <math>P</math>.
a) Sea f:R2->R diferenciable en un punto P. Probar que f es continua en P y que existen las derivadas parciales de f en P.


b) Encontrar una función <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> tal que <math>f</math> es continua en <math>(0,0)</math> y existen las derivadas parciales de <math>f</math> en <math>(0,0)</math>, pero <math>f</math> no es diferenciable en <math>(0,0)</math>.
b) Encontrar una función f:R2->R tal que f es continua en (0,0) y existen las derivadas parciales de f en (0,0), pero f no es diferenciable en (0,0).
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