Edición de «Final 22/12/2015 (Álgebra I)»

Final de Javier Etcheverry
Tiempo: 3,5 / 4 horas. 

==Ejercicio 1==
Dada la sucesión:
<math>1^{3} = 1 \\
2^{3} = 3 + 5 \\
3^{3} = 7 + 9 + 11 \\
4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19\\</math>
Dar la fórmula general, y probar que es válida.

==Ejercicio 2==
Hallar el resto de dividir por <math>p</math> a <math>\sum\limits_{i=1}^{3p+1} i^{p(p-1)}</math>.

==Ejercicio 3==
Sabiendo que <math>r_{9} (4x)=2</math>, <math>r_{14} (3x)=5</math> y <math>r_{20} (3x)=1</math>, hallar el resto de dividir a <math>x</math> por 2520.

==Ejercicio 4==
Dada la relación definida en <math>R[X]</math> definida por: <math>pRq \leftrightarrow</math> {el resto de dividir a <math>p</math> por <math>X^2+1</math> es igual al resto de dividir a <math>q</math> por <math>X^2+1</math>}.
<br>i)Probar que <math>R</math> es relación de equivalencia. ¿Cómo son sus clases de equivalencia?
<br>ii)Dados p,q <math>\in R[X]</math>, y sabiendo que el resto de dvidir a <math>p</math> por <math>X^2+1</math> es <math>aX+b</math>, y el resto de dvidir a <math>q</math> por <math>X^2+1</math> es <math>cX+d</math>.Hallar la clase de equivalencia de <math>p+q</math> y la de <math>pq</math>. ¿A qué se asemejan?