Final 22/02/2019 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} en $[a,b]$. Probar que $\forall x,y\in [a,b]\ \exists M>0$ positivo tal que $|f(x)-f(y)|<=M|x-y|$

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ y sea $S$ el entorno de $f(x,y,z)=0$ y $\bigtriangledown f(0,0,0)\neq 0$, probar que el gradiente de $f$ es perpendicular al plano tangente de $S$.

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{3}$ sea $P$

$P(x,y)=3+2x+5xy-y^{2}$ en $P=(1,-1)$ su polinomio de taylor en $(1,-1)$:

a) sea $g(x,y)=f(ye^{(x+1)},2xy+y^{2})$, encontrar el vector unitario Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} que maximize Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v} } en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-1,1)} .

b) Decidir si este limite existe: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (1,-1)} \frac{f(x,y) - 3 -2x - 5xy + y^2 + sen(x-1)(y+1)^2}{(x+1)^2 + (y-1)^2} }

Ejercicio 4

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} } continua tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y) = f(y,x) \ \forall x,y \in [0,1] } . probar que: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} f(x,y) dy )dx = \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{y} f(x,y) dx )dy = \frac{1}{2} \int_{[0,1]^2} f(x,y) dxdy}