Edición de «Final 22/02/2019 (Análisis II)»

== Ejercicio 1 ==
Sea <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> con  <math>f \in C^1</math> en <math>[a,b]</math>. Probar que  <math>\forall x,y \in [a,b] \ \exist M > 0 </math> positivo tal que
<math>|f(x)-f(y)| <= M|x-y|</math>
== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}</math> de clase <math>C^1</math> y sea <math>S</math> el entorno de <math>f(x,y,z)=0</math> y <math>\bigtriangledown f(0,0,0) \neq 0</math>, probar que el gradiente de <math>f</math> es perpendicular al plano tangente de <math>S</math>.
==Ejercicio 3==
Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math>  de clase <math>C^3  </math> sea  <math>P</math>

<math>P(x,y) = 3 +2x + 5xy -y^2</math>
su polinomio de taylor en <math>(1,-1)</math>: 

a) sea <math>g(x,y)=f(ye^{(x+1)},2xy + y^2)</math>, encontrar el vector unitario <math>v</math> que maximize <math>\frac{\partial g}{\partial v} </math> en <math>(-1,1)</math>.

b) Decidir si este limite existe:
<math> \lim_{(x,y)\rightarrow (1,-1)} \frac{f(x,y) - 3 -2x - 5xy + y^2 + sen(x-1)(y+1)^2}{(x-1)^2 + (y+1)^2} </math>

==Ejercicio 4==
Sea <math> f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} </math> continua tal que   <math>f(x,y) = f(y,x) \  \forall x,y \in [0,1] </math>. probar que:
<math> \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} f(x,y) dy )dx = \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{y} f(x,y) dx )dy = \frac{1}{2}  \int_{[0,1]^2}  f(x,y) dxdy</math>