Final 22/02/2013 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Tchebycheff.

b) Enuncie y demuestre la Ley de los Grandes Números.

c) Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1 , ... , X_n } experimentos Bernoulli de parametro $p$. Sea $S_{n}=X_{1}+...+X_{n}$. Sea $t>0$. ¿Cómo debe ser $n$ para que

$P(|(S_{n}/n)-p|>t)<0,001$

independientemente del valor de $p$ (desconocido)?

Ejercicio 2

Sean $X_{1},...,X_{n}$ v.a. iid con distribución $P(\lambda )$

a) Hallar el E.M.V. de $\lambda$

b) Hallar el E.M.V. de $P(X=0).$ ($X$ tmb es una Poisson de parametro $\lambda$)

Ejercicio 3

(Este es el ejercicio de Juan y Pinchame que aparece en un final anterior.)

Ejercicio 4

a) Sean $X_{1},...,X_{n}$ v.a. iid con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ ($\mu$ desconocido. Hallar el E.M.V. de $\mu$.

b) Plantear un test de hipótesis para $\mu$ de nivel $\alpha$:

$H_{0}$: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu = \mu_0} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1} : Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu > \mu_0}

c) Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_1 > \mu} . Calcular la probabilidad de no rechazar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0} cuando el valor es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_1} .

d) ¿A qué tiene la probabilidad calculada en c) cuando Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_1} tiende a +infinito?