Edición de «Final 22/02/2013 (Probabilidad y Estadística)»

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<math>P(|(S_n / n) - p| > t) < 0,001</math>
<math>P(|(S_n / n) - p| > t) < 0,001</math>


independientemente del valor de <math>p</math> (desconocido)?
independientemente del valor de <math>p</math> (desconocido).


== Ejercicio 2 ==
== Ejercicio 2 ==
Sean <math>X_1 , ... , X_n</math> v.a. iid con distribución <math>P(\lambda)</math>
a) Enunciar y probar el teorema de la probabilidad total.


a) Hallar el E.M.V. de <math>\lambda</math>
b) Dar un ejemplo de aplicación del teorema.
 
c) Sean <math>A</math>, <math>B</math> eventos de un espacio muestral <math>S</math>. Probar que si <math>A</math> y <math>B</math> son independientes, entonces también lo son <math>A</math> y <math>B^c</math>.


b) Hallar el E.M.V. de <math>P(X = 0).</math> (<math>X</math> tmb es una Poisson de parametro <math>\lambda</math>)


== Ejercicio 3 ==
== Ejercicio 3 ==
Juan y Pinchame combinan para encontrarse en el río entre las 14 y las 15 horas, dando por entendido que ninguno esperará al otro más de 15 minutos. Asumir que iguales intervalos de tiempo tienen asignados iguales probabilidades de llegada y que ambos actúan de forma independiente.
Sean <math>T_n</math> y <math>W_n</math> dos estimadores insesgados de <math>\theta</math>:
 
a) Halle la probabilidad de que Juan llegue antes que Pinchame.


b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y Pinchame se encuentren?
a) Si se combinan para formar un nuevo estimador dado por <math>\overset{\sim}{\theta}^n= \alpha T_n + \beta W_n</math> donde <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> son constantes. ¿Qué condiciones son necesarias sobre <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> tal que <math>\overset{\sim}{\theta}</math> sea insesgado?


== Ejercicio 4 ==
b) Si <math>T_n</math> y <math>W_n</math> son independientes y tienen varianza <math>V(T_n)</math> y <math>V(W_n)</math> respectivamente, calcular la varianza de <math>\overset{\sim}{\theta}</math>.
a) Sean <math>X_1,...,X_n</math> v.a. iid con distribución <math>N(\mu,\sigma ^2)</math> (<math>\mu</math> desconocido. Hallar el E.M.V. de <math>\mu</math>.


b) Plantear un test de hipótesis para <math>\mu</math> de nivel <math>\alpha</math>:
c) Bajo las condiciones de b). ¿Cuál es la elección de <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> que minimiza la varianza de <math>\overset{\sim}{\theta}</math> y hace que <math>\overset{\sim}{\theta}</math> sea insesgado?


<math>H_0</math>: <math>\mu = \mu_0</math> <math>H_1</math>: <math>\mu > \mu_0</math>


== Ejercicio 4 ==
a) Enuncie el Teorema central del límite.


c) Sea <math>\mu_1 > \mu</math>. Calcular la probabilidad de no rechazar <math> H_0</math> cuando el valor es <math>\mu_1</math>.
b) Sean <math>X_1,X_2,...X_n</math> v.a.i.i.d. tales que <math>X_i\sim Bi(1,p)</math> y sea <math>n</math> suficientemente grande. Deducir un intervalo de confianza de nivel aproximado <math>1-\alpha</math> para <math>p</math>.


d) ¿A qué tiene la probabilidad calculada en c) cuando <math>\mu_1</math> tiende a +infinito?
c) Se llama <math>chance</math> al coeficiente <math>c(p) = \frac{p}{1-p}</math>.
* Probar que si <math>p > q</math> entonces <math>c(p) > c(q)</math>.
* Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado <math>1-\alpha</math> para <math>\frac{p}{1-p}</math>.
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