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'''(b)''' Concluir que para todo <math>x, y \in [a,b]</math>, se verifica <math>\vert f(x) - f(y) \vert \leq M \vert x - y \vert</math>. | '''(b)''' Concluir que para todo <math>x, y \in [a,b]</math>, se verifica <math>\vert f(x) - f(y) \vert \leq M \vert x - y \vert</math>. | ||
\usepackageP{amsmath} | |||
== Ejercicio 2 == | == Ejercicio 2 == | ||
Sea <math>f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> definida por | Sea <math>f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> definida por | ||
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\end{cases} </math> | \end{cases} </math> | ||
'''(a)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales existen todas las derivadas direccionales <math>\frac{\partial f}{\partial | '''(a)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales existen todas las derivadas direccionales <math>\frac{\partial f}{\partial v}(0, 0)</math> para <math>v \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>\vert\vert v \vert\vert = 1</math>. | ||
'''(b)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales <math>f</math> resulta diferenciable en <math>(0, 0)</math>. | '''(b)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales <math>f</math> resulta diferenciable en <math>(0, 0)</math>. | ||
== Ejercicio 3 == | == Ejercicio 3 == | ||
Sea <math>f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^ | Sea <math>f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^3</math> en el abierto <math>U</math>. Probar que si <math>p \in U</math> es un punto crítico de <math>f</math> y <math>H\ f(p)</math> es definido positivo, entonces <math>f</math> tiene un mínimo local estricto en <math>p</math>. | ||
== Ejercicio 4 == | == Ejercicio 4 == |
Revisión actual - 19:12 20 jul 2021
Ejercicio 1[editar]
Sea una función de clase y sean tales que .
(a) Probar que existe tal que, para todo se verifica .
(b) Concluir que para todo , se verifica .
\usepackageP{amsmath}
Ejercicio 2[editar]
Sea definida por Error al representar (función desconocida «\begin{cases}»): {\displaystyle f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^n y}{x^2 + y^2} & \text{para $(x, y) \neq (0, 0)$} \\ 0 & \text{para $(x, y) = (0, 0)$.} \end{cases} }
(a) Determinar todos los valores de para los cuales existen todas las derivadas direccionales para tal que .
(b) Determinar todos los valores de para los cuales resulta diferenciable en .
Ejercicio 3[editar]
Sea una función de clase en el abierto . Probar que si es un punto crítico de y es definido positivo, entonces tiene un mínimo local estricto en .
Ejercicio 4[editar]
Sean dos transformaciones lineales tales que . Sea el dominio limitado por las rectas , , , . Es decir .
Calcular .