Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2017 (Análisis II)»

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\end{cases} </math>
\end{cases} </math>


'''(a)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales existen todas las derivadas direccionales <math>\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)</math> para <math>v \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>\vert\vert v \vert\vert = 1</math>.   
'''(a)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales existen todas las derivadas direccionales <math>\frac{\partial f}{\partial v}(0, 0)</math> para <math>v \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>\vert\vert v \vert\vert = 1</math>.   


'''(b)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales <math>f</math> resulta diferenciable en <math>(0, 0)</math>.
'''(b)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales <math>f</math> resulta diferenciable en <math>(0, 0)</math>.


== Ejercicio 3 ==
== Ejercicio 3 ==
Sea <math>f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^2</math> en el abierto <math>U</math>. Probar que si <math>p \in U</math> es un punto crítico de <math>f</math> y <math>H\ f(p)</math> es definido positivo, entonces <math>f</math> tiene un mínimo local estricto en <math>p</math>.
Sea <math>f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^3</math> en el abierto <math>U</math>. Probar que si <math>p \in U</math> es un punto crítico de <math>f</math> y <math>H\ f(p)</math> es definido positivo, entonces <math>f</math> tiene un mínimo local estricto en <math>p</math>.


== Ejercicio 4 ==
== Ejercicio 4 ==

Revisión del 02:58 22 dic 2017

Ejercicio 1

Sea una función de clase y sean tales que .

(a) Probar que existe tal que, para todo se verifica .

(b) Concluir que para todo , se verifica .

Ejercicio 2

Sea definida por Error al representar (función desconocida «\begin{cases}»): {\displaystyle f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^n y}{x^2 + y^2} & \text{para $(x, y) \neq (0, 0)$} \\ 0 & \text{para $(x, y) = (0, 0)$.} \end{cases} }

(a) Determinar todos los valores de para los cuales existen todas las derivadas direccionales para tal que .

(b) Determinar todos los valores de para los cuales resulta diferenciable en .

Ejercicio 3

Sea una función de clase en el abierto . Probar que si es un punto crítico de y es definido positivo, entonces tiene un mínimo local estricto en .

Ejercicio 4

Sean dos transformaciones lineales tales que . Sea el dominio limitado por las rectas , , , . Es decir .

Calcular .