Edición de «Final 21/12/2017 (Análisis II)»

== Ejercicio 1 ==
Sea <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^1</math> y sean <math>a,b \in \mathbb{R}</math> tales que <math>a < b</math>.

'''(a)''' Probar que existe <math>M > 0</math> tal que, para todo <math>x \in [a,b]</math> se verifica <math>\vert f'(x) \vert \leq M</math>.

'''(b)''' Concluir que para todo <math>x, y \in [a,b]</math>, se verifica <math>\vert f(x) - f(y) \vert \leq M \vert x - y \vert</math>.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> definida por
<math> f(x, y) =
\begin{cases}
    \frac{x^n y}{x^2 + y^2} & \text{para $(x, y) \neq (0, 0)$} \\
    0                       & \text{para $(x, y) =    (0, 0)$.}
\end{cases} </math>

'''(a)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales existen todas las derivadas direccionales <math>\frac{\partial f}{\partial v}(0, 0)</math> para <math>v \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>\vert\vert v \vert\vert = 1</math>.  

'''(b)''' Determinar todos los valores de <math>n \in \mathbb{N}</math> para los cuales <math>f</math> resulta diferenciable en <math>(0, 0)</math>.

== Ejercicio 3 ==
Sea <math>f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^3</math> en el abierto <math>U</math>. Probar que si <math>p \in U</math> es un punto crítico de <math>f</math> y <math>H\ f(p)</math> es definido positivo, entonces <math>f</math> tiene un mínimo local estricto en <math>p</math>.

== Ejercicio 4 ==
Sean <math>f, g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> dos transformaciones lineales tales que <math>\operatorname{det}\left( \begin{matrix} \nabla f(x, y) \\ \nabla g(x, y) \end{matrix} \right) = 3</math>. Sea <math>D</math> el dominio limitado por las rectas <math>f(x, y) = 5</math>, <math>f(x, y) = 8</math>, <math>g(x, y) = -1</math>, <math>g(x, y) = 2</math>. Es decir <math> D = \lbrace (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 5 \leq f(x, y) \leq 8, -1 \leq g(x, y) \leq 2 \rbrace</math>.

Calcular <math>\int_D {e^{f(x, y)} \left(g(x, y)\right)^2 \text{d}x \, \text{d}y}</math>.