Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2012 (Álgebra I)»
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<math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math> | <math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math> | ||
==Ejercicio 2== | ==Ejercicio 2== | ||
a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+sqrt{2}</math> y <math>3+sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional. | a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+\sqrt{2}</math> y <math>3+\sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional. | ||
b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales. | b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+\sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales. | ||
==Ejercicio 3== | ==Ejercicio 3== | ||
Revisión del 14:56 6 nov 2015
Ejercicio 1
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_n} la sucesión de Fibonacci: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0=0} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1=1} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{n+1}=F_n+F{n-1} (n\geq 1)}
a) Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a,b\in \mathbb{Z} } no ambos nulos. Probar que para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\geq 0} se tiene
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (F_na+F_{n+1}b:F_{n+1}a+F_{n+2}b)=(a:b)}
Encontrar otra sucesión Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_n \in \mathbb {Z}} tal que:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)}
Ejercicio 2
a) Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f \in Q[x]} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle gr(f)=5} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1+\sqrt{2}} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3+\sqrt{3}} son raíces de f. Probar que f tiene una raíz racional.
b) Encontrar un polinomio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g \in Q[x]} de grado 5 con raíz Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1+\sqrt{2}} pero sin raíces racionales.
Ejercicio 3
Probar que si p y q son primos distintos y si a es coprimo con pq, entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^{[p-1:q-1]}} es congruente a 1 (mod pq)
Ejercicio 4
Dado Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k \in \mathbb{N}} ,Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_k= \{ z \in \mathbb{C} /z^k=1 \} } . Probar que si n y m son coprimos,
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f: G_n \times G_m \rightarrow G_{mn} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t,s)=ts } es biyectiva.
Ejercicio 5
Encontrar todos los enteros Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leq a \leq 2400} que son divisibles por 8, tales que su desarrollo en base 7 tiene al menos 3 dígitos iguales.
