Final 21/12/2010 (Análisis II)

De Cuba-Wiki

Ejercicio 1

Parte a

Posible resolución

Puede verse que si las derivadas parciales de son:

Y que por lo tanto:

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.

Parte b

Posible resolución

Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).

Parte c

Resolución

Si es clase pues probamos que las derivadas parciales existen en

Parte d

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si es entonces . Por contrarrecíproco como no son iguales no es .