Final 21/12/2010 (Análisis II)

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Ejercicio 1[editar]

Parte a[editar]

Posible resolución

Puede verse que si las derivadas parciales de son:

Y que por lo tanto:

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.

Parte b[editar]

Posible resolución

Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).

Parte c[editar]

Posible resolución

Que sea de clase quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0) es una composición de funciones de clase y por tanto de clase . Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0).

Parte d[editar]

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si es entonces . Por contrarrecíproco como no son iguales no es .