Final 21/12/2010 (Análisis II)
Ejercicio 1
Parte a
Posible resolución
Puede verse que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y) \neq (0,0)} las derivadas parciales de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y)} son:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(3x^2 y - y^3)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{(x^3 - 3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3 y - xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2} }
Y que por lo tanto:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,y)= -y }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,0)= x }
Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)= \lim_{t\rightarrow0} \frac{f((t,0)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{ \frac{t.0(t^2-0)}{t^2 + 0} - f(0,0)}{t} = 0 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)= \lim_{t\rightarrow0} \frac{f((0,t)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{ \frac{0.t(0-t^2)}{0 + t^2} - f(0,0)}{t} = 0 }
Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.
Parte b
Posible resolución
Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,t) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{-t - 0}{t} = -1}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(t,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{t - 0}{t} = 1}
Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).
Parte c
Resolución
Si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} pues probamos que las derivadas parciales existen en
Parte d
Resolución
Sabemos por el teorema de Schwarz que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^2} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) } . Por contrarrecíproco como no son iguales Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} no es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^2} .
