Final 21/12/2010 (Análisis II)

Ejercicio 1

Parte a

Resolución

Puede verse que si $(x,y)\neq (0,0)$ las derivadas parciales de $f(x,y)$ son: ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {(3x^{2}y-y^{3})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)={\frac {(x^{3}-3xy^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

Y que ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,y)=-y$

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,0)=x$

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f((t,0))-f(0,0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\frac {t.0(t^{2}-0)}{t^{2}+0}}-f(0,0)}{t}}=0$

Parte d

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si $f$ es $C^{2}$ entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)\eq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) } . Por contrarrecíproco como no son iguales $f$ no es $C^{2}$.