Edición de «Final 21/12/2010 (Análisis II)»

= Ejercicio 1 =

== Parte a ==
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Posible resolución
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Puede verse que si <math>(x,y) \neq (0,0)</math> las derivadas parciales de <math>f(x,y)</math> son:

<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(3x^2 y - y^3)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{(x^3 - 3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3 y - xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}
</math>

Y que por lo tanto:
  
<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)= -y 
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)= x 
</math>

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)= \lim_{t\rightarrow0} \frac{f((t,0)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{ \frac{t.0(t^2-0)}{t^2 + 0} - f(0,0)}{t} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)= \lim_{t\rightarrow0} \frac{f((0,t)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{ \frac{0.t(0-t^2)}{0 + t^2} - f(0,0)}{t} = 0
</math>

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar. 
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== Parte b ==
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Posible resolución
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Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,t) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{-t - 0}{t} = -1</math>

<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(t,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{t - 0}{t} = 1</math>

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0). 
 
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== Parte c ==
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Posible resolución
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Que <math>f</math> sea de clase <math>C^1</math> quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0)  <math>f</math> es una composición de funciones de clase <math>C^1</math> y por tanto de clase <math>C^1</math>.
Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0). Un forma es probar que todas las derivadas direccionales son 0 en el (0,0).


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== Parte d ==
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Resolución
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Sabemos por el teorema de Schwarz que si <math>f</math>  es <math>C^2</math> entonces <math> \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) </math>. Por contrarrecíproco como no son iguales <math>f</math> no es <math>C^2</math>.
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