Final 21/07/2015 (Análisis II)

1. Enunciar y demostrar Bolzano para f:[a,b]→(a,b)
2. Probar que si f es diferenciable, entonces f es continua
3. Sea f(x,y) = ln (1 - x² + y)
   
   • Probar que es C² en una bola centrada en el origen y calcular el polinomio de Taylor de orden 2 se f centrado en P=(0,0)
     
   • Calcular:
     
   lim [ln(1-x²+y) - y + x² + y²/2] / [x² + y²]
   (x,y)→(0,0)
4. Sea g: ℝ² → ℝ de clase C¹. Se sabe que la funcion f(x,y,z) = 3 x² - y + 2 z restringida al dominio D = { (x,y,z) ∈ ℝ³ : g(x,y) = x + z^2} tiene un extremo local en el punto (1,2,3). Calcular ∇(g(1,2)).