Final 21/07/2015 (Análisis II)

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1. Enunciar y demostrar Bolzano para $f:[a,b]\rightarrow (a,b)$
2. Probar que si $f$ es diferenciable, entonces $f$ es continua
3. Sea $f(x,y)=ln(1-x^{2}+y)$
   
   • Probar que es $C^{2}$ en una bola centrada en el origen y calcular el polinomio de Taylor de orden 2 se f centrado en $P=(0,0)$
     
   • Calcular:
     
   ${\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac {ln(1-x^{2}+y)-y+x^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}}{x^{2}+y^{2}}}}$
4. Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$. Se sabe que la función $f(x,y,z)=3x^{2}-y+2z$ restringida al dominio $D={(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:g(x,y)=x+z^{2}}$ tiene un extremo local en el punto $(1,2,3)$. Calcular $\nabla (g(1,2))$.