Final 14/12/2012 (Álgebra I)

Ejercicio 1

a) Sea A = 1,2,…,10. Determinar cuántas relaciones de equivalencia se pueden definir tales que haya exactamente dos clases de equivalencia.

b) Determinar también cuántas se pueden definir para que haya 3 clases de equivalencia.

Ejercicio 2

Hallar para todo $n\in \mathbb {N}$ el resto de dividir $2^{2^{n}}$ por 13.

Ejercicio 3

Sea $p(x)$ un polinomio en $Q[x]$ irreducible, tal que $\alpha \in \mathbb {C}$ es una raíz de $p(x)$. Probar que si $q(x)\in Q[x]$ es un polinomio tal que $q(\alpha )=0$, entonces $p|q$. Sugerencia: Considerar $(p:q)$

Ejercicio 4

Encontrar un polinomio de grado 2 en $Z[x]$ tal que:

$f(0)\equiv f(1)\equiv 0(3)$

$f(2)\equiv f(0)\equiv 0(5)$

$f(2)\equiv f(4)\equiv 0(7)$

Ejercicio 5

Sea $w\in G_{n}$. Se define el orden de w como $ord(w)=minm\in \mathbb {N} /w^{m}=1$

a) Probar que $ord(w)|n$

b) Probar que si w tiene orden k, entonces w es primitiva de orden k.