Edición de «Final 14/12/2012 (Álgebra I)»

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==Ejercicio 1==
a) Sea A = 1,2,…,10. Determinar cuántas relaciones de equivalencia se pueden definir tales que haya exactamente dos clases de equivalencia.

b) Determinar también cuántas se pueden definir para que haya 3 clases de equivalencia.

==Ejercicio 2 ==

Hallar para todo <math>n \in \mathbb{N}</math> el resto de dividir <math>2^{2^n}</math> por 13.

==Ejercicio 3==
Sea <math>p(x)</math> un polinomio en <math>Q[x]</math> irreducible, tal que <math>\alpha \in \mathbb{C}</math> es una raíz de <math>p(x)</math>. Probar que si <math>q(x) \in Q[x]</math> es un polinomio tal que <math>q(\alpha)=0</math>, entonces <math>p|q</math>. Sugerencia: Considerar <math>(p:q)</math>

==Ejercicio 4==
Encontrar un polinomio de grado 2 en <math>Z[x]</math> tal que:

<math>f(0)\equiv f(1)\equiv 0(3)</math>

<math>f(2)\equiv f(0)\equiv 0(5)</math>

<math>f(2)\equiv f(4)\equiv 0(7)</math>
 
==Ejercicio 5==
Sea <math>w \in G_n</math>. Se define el orden de w como <math> ord(w)= min m\in \mathbb{N} / w^m=1 </math>

a) Probar que <math>ord(w)|n</math>
 
b) Probar que si ''w'' tiene orden ''k'', entonces ''w'' es primitiva de orden ''k''.