Edición de «Final 14/12/2010 (Análisis II)»

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== Ejercicio 1 ==

Sea <math>f: R \rightarrow R</math>definida por:
<math>
f(x,y) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^3}{x^2 +y^2} & si (x, y) \neq (0, 0),\\ 
0 & si (x, y) = (0, 0).

\end{matrix}\right.</math>

* a) Probar que <math>f</math> es continua en <math>R^2</math>.
* b) Probar que para todo  <math>v \in R^2</math> tal que <math>\left \| v \right \| = 1</math>, existe <math>\frac{\partial f}{\partial v}(0, 0)</math>.
* c) Analizar en qué puntos de <math>R^2</math> la función <math>f</math> es diferenciable.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f:\mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}</math> continua y derivable en <math>\mathbb{R}_{>0}</math> tal que <math>f(0)=1</math> y  <math>|f'(x)| \leq \frac {1}{2}</math> para todo <math>x>0</math> 

a) Probar que la función <math>g(x)=x-f(x)</math> es inyectiva.

b) Probar que existe un único <math>x_0 \in \mathbb{R}_{>0}</math>  tal que <math>f(x_0)=x_0</math> 

== Ejercicio 3 ==
Para cada valor de <math>b \in \mathbb{R}</math> encontrar el valor máximo y el valor mínimo que toma la función <math>f(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{by^2}{2}</math> en el disco <math>\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 / (x^2+y^2)\leq 1 \} </math> .

==Ejercicio 4==
Sea <math>g:\mathbb{R}_>{-1} \to \mathbb{R}</math>  definida por <math>g(x)=\int_{-1}^{x}e^{-t^2}dt-\int_{-1}^{0}e^{-t^2}dt</math> 

a) Probar que ''g'' es una función de clase <math>C^2</math>.

b) Probar que el polinomio de Taylor de orden 1 de g en <math>x_0=0</math> es <math>P_1(x)=x</math>.
 
c) Encontrar <math>\delta >0 </math> tal que si <math>|x|<\delta</math>  el error que se comete al aproximar <math>g(x)</math> por ''x'' sea a lo sumo <math>\frac {1}{100}</math>.
 
d) ¿Cuál es el polinomio de orden 2 de ''g'' en <math>x_0=0</math>?
 
== Ejercicio 5==
Encontrar todos los <math>p \in \mathbb{R}</math> tales que existe <math>\lim_{\epsilon \to 0} \iint_{\epsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1}^{\: }(x^2+y^2)^p dxdy</math>