Final 13/12/2002 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea $f:G_{45}\rightarrow \mathbb {C}$ la función definida por $f(z)=z^{5}$ . Determinar si $f$ es inyectiva y calcular su imagen.

Hallar todos los $a,b\in \mathbb {Z}$ coprimos tales que el polinomio

$X^{7}+3X^{6}-2X^{5}-X^{4}+2X^{2}+bX+a$

tenga (al menos) una raíz raional múltiple.

¿De cuántas maneras pueden ubicarse 20 bolitas indistinguibles en 5 cajas con la condicion de que en cada caja haya a lo sumo 9 bolitas?

Hallar todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que

$(\cos {\frac {pi}{15}}+i\sin {\frac {\pi }{15}})^{n}=(\cos {\frac {\pi }{12}}+i\sin {\frac {\pi }{12}})^{3n+1}$

Sea $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ la sucesión de números reales definida por:

$a_{0}=1,\;\;\;\;\;\;a_{n+1}=15a_{n}^{2}-2.7^{12n+1}\;\;\;\;\;\;\;\;(n\in \mathbb {N}$

Probar que, para todo $n\in \mathbb {N} _{0}$ , $a_{n}\in \mathbb {Z}$ y $a_{n}\equiv 1\;(13)$