Edición de «Final 13/11/2012 (Probabilidad y Estadística)»

== Ejercicio 1 ==
a) Enunciar y demostrar la fórmula de la probabilidad total y el Teorema de Bayes.

b) Mientras mirás un partido de River - Boca en el bar del Pabellón II descubrís que la persona sentada en una mesa vecina claramente es hincha de River. Calcular la probabilidad de que esta persona haya nacido a menos de 10km de la cancha de River, asumiendo que:

*i) La probabilidad de que una persona elegida al azar en un bar del Pabellón II haya nacido a menos de 10km de la cancha de River es <math>\frac{1}{20}</math>

*ii) La probabilidad de que una persona nacida a menos de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es <math>\frac{7}{20}</math>.

*iii) La probabilidad de que una persona nacida a más de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es <math>\frac{1}{10}</math>.


== Ejercicio 2 == 
Sea <math>(X, Y)</math> un vector aleatorio con distribución uniforme en el rectángulo de vértices <math>(-1, 1), (2, 1), (2, -2), (-1, -2)</math>.

*a) Calcular la función de densidad conjunta del vector <math>(X, Y)</math> y sus distribuciones marginales. ¿Son las variables <math>X</math> e <math>Y</math> independientes?

*b) Calcular <math>\mathbb{E}[XY]</math>.

*c) Calcular <math>\mathbb{P}[X + 2Y \le 2]</math>.

== Ejercicio 3 ==
Sean <math>X_1, \dots, X_n</math> i.i.d. con distribución <math>U(0, \theta), \theta > 0</math>.

a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de <math>\theta</math>.

b) Hallar el estimador de momentos de <math>\theta</math>.

c) Definir el error cuadrático medio de un estimador (ECM) y expresarlo en función de la varianza y el sesgo del estimador.

d) ¿Cuál de los dos estimadores (momentos o máxima verosimilitud) elegirías en base al criterio de minimizar la ECM?

== Ejercicio 4 ==
a) Enunciar el Teorema Central del Límite. Enunciar y justificar la aproximación a la distribución binomial por una distribución normal.

b) Sea <math>X_1, \dots, X_n</math> una muestra aleatoria con distribución Bernoulli de parámetro <math>p</math>. Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado <math>1 - \alpha</math> para <math>p</math>.

c) Plantear un test de hipótesis de nivel aproximado <math>\alpha</math> para las hipótesis:
* <math>H_0: p = p_0</math>
* <math>H_1 : p \ne p_0</math>
definiendo el estadístico usado y la región de rechazo.