Final 13/11/2012 (Probabilidad y Estadística)

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Ejercicio 1[editar]

a) Enunciar y demostrar la fórmula de la probabilidad total y el Teorema de Bayes.

b) Mientras mirás un partido de River - Boca en el bar del Pabellón II descubrís que la persona sentada en una mesa vecina claramente es hincha de River. Calcular la probabilidad de que esta persona haya nacido a menos de 10km de la cancha de River, asumiendo que:

  • i) La probabilidad de que una persona elegida al azar en un bar del Pabellón II haya nacido a menos de 10km de la cancha de River es
  • ii) La probabilidad de que una persona nacida a menos de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es .
  • iii) La probabilidad de que una persona nacida a más de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es .


Ejercicio 2[editar]

Sea un vector aleatorio con distribución uniforme en el rectángulo de vértices .

  • a) Calcular la función de densidad conjunta del vector y sus distribuciones marginales. ¿Son las variables e independientes?
  • b) Calcular .
  • c) Calcular .


Ejercicio 3[editar]

Sean i.i.d. con distribución .

a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de .

b) Hallar el estimador de momentos de .

c) Definir el error cuadrático medio de un estimador (ECM) y expresarlo en función de la varianza y el sesgo del estimador.

d) ¿Cuál de los dos estimadores (momentos o máxima verosimilitud) elegirías en base al criterio de minimizar la ECM?


Ejercicio 4[editar]

a) Enunciar el Teorema Central del Límite. Enunciar y justificar la aproximación a la distribución binomial por una distribución normal.

b) Sea una muestra aleatoria con distribución Bernoulli de parámetro . Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado para .

c) Plantear un test de hipótesis de nivel aproximado para las hipótesis:

definiendo el estadístico usado y la región de rechazo.