Diferencia entre revisiones de «Final 10/12/2015 (Álgebra I)»

Revisión actual - 00:19 11 dic 2015

Final de Ariel Pacetti. Tiempo: 3 horas y media. (Aca esta resuelto)

Sea $w\in G_{26}$ una raíz primitiva. Determine todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que $w^{{2}^{n}}={\overline {w}}^{4}.$

En cada caso, decida si puede existir una relacion en un conjunto $A$ que sea:

(a) Reflexiva, simétrica y antisimétrica.

(b) Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.

(c) Simétrica, antisimétrica y no transitiva.

(d) Simétrica, no antisimétrica y transitiva.

Encuentre un polinomio mónico $q(x)$ de grado 2 en $\mathbb {Z} [x]$ que verifique simultaneamente las siguientes propiedades.

¿Cuantos numeros $n\in \mathbb {N}$ hay, que satisfacen simultaneamente :

$n$ es divisible por 3,
la escritura de $n$ en base 9 es capicúa,
la escritura de $n$ en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (Aclaracion personal, primer digito no puede ser 0)
la escritura de $n$ en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 Final de Ariel Pacetti.
-Tiempo: 3 horas y media.
+Tiempo: 3 horas y media. [[Medio:Algebra_final_10-12-15.pdf|(Aca esta resuelto)]]
 ==Ejercicio 1==
@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 * la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (''Aclaracion personal'', primer digito no puede ser 0)
 * la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?
-==Resolucion - Ejercicio 1==
-<math>w \in G_{26} \implies \overline{w} = w^{-1}</math>
-<math> \overline{w}^4 = w^{-4} </math>
-<math> w^{2^n} = w^{-4} </math>
-<math> w^{2^{n} + 4} = 1 = w^{26} </math>
-<math>2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 26) </math>
-<math>26 = 2 * 13</math> , y como <math>(2:13) = 1, por \  TCR </math>
-<math>
-\begin{cases} 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 2)  \ \ \ \  (i)\\ 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 13) \ \ \ (ii)\end{cases}
-</math>
-<math> (i) </math> vale para todo n.
-<math> (ii) </math> como 13 es primo, y <math> (13:2^n)=1 </math>, por Fermat <math> \implies 2^{n} \equiv 2^{r_{12}(n)} \  (mod \ 13)</math>
-En definitiva, estoy buscando los <math> n \in \mathbb{N} : 2^{r_{12}(n)} \equiv 9 \ (mod \  13) </math>
-Analizo los posibles restos modulo 12 y veo cual verifica la condición.
-Haciendo una tabla de restos, se ve que el unico que verifica es <math> r_{12}(n) = 8 </math>
-Por lo tanto, los n que verifican la ecuacion original son de la forma <math> n = 12k + 8, k \in \mathbb{N}_0</math>