Diferencia entre revisiones de «Final 10/12/2015 (Álgebra I)»

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(Resolucion ejercicio 1)
Línea 33: Línea 33:
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (''Aclaracion personal'', primer digito no puede ser 0)
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (''Aclaracion personal'', primer digito no puede ser 0)
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?
==Resolucion - Ejercicio 1==
<math>w \in G_{26} \implies \overline{w} = w^{-1}</math>
<math> \overline{w}^4 = w^{-4} </math>
<math> w^{2^n} = w^{-4} </math>
<math> w^{2^{n} + 4} = 1 = w^{26} </math>
<math>2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 26) </math>
<math>26 = 2 * 13</math> , y como <math>(2:13) = 1, por \  TCR </math>
<math>
\begin{cases} 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 2)  \ \ \ \  (i)\\ 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 13) \ \ \ (ii)\end{cases}
</math>
<math> (i) </math> vale para todo n.
<math> (ii) </math> como 13 es primo, y <math> (13:2^n)=1 </math>, por Fermat <math> \implies 2^{n} \equiv 2^{r_{12}(n)} \  (mod \ 13)</math>
En definitiva, estoy buscando los <math> n \in \mathbb{N} : 2^{r_{12}(n)} \equiv 9 \ (mod \  13) </math>
Analizo los posibles restos modulo 12 y veo cual verifica la condición.
Haciendo una tabla de restos, se ve que el unico que verifica es <math> r_{12}(n) = 8 </math>
Por lo tanto, los n que verifican la ecuacion original son de la forma <math> n = 12k + 8, k \in \mathbb{N}_0</math>

Revisión del 20:09 10 dic 2015

Final de Ariel Pacetti. Tiempo: 3 horas y media.

Ejercicio 1

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w \in G_{26}} una raíz primitiva. Determine todos los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } tales que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w^{{2}^n} = \overline{w}^4 . }

Ejercicio 2

En cada caso, decida si puede existir una relacion en un conjunto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} que sea:

(a) Reflexiva, simétrica y antisimétrica.

(b) Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.

(c) Simétrica, antisimétrica y no transitiva.

(d) Simétrica, no antisimétrica y transitiva.

Ejercicio 3

Encuentre un polinomio mónico Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(x)} de grado 2 en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Z}[x] } que verifique simultaneamente las siguientes propiedades.

  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(0) \equiv 2 (mod \ 5) } y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(2) \equiv 0 (mod \ 5)}
  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(0) \equiv 3 (mod \ 7) } y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(3) \equiv 1 (mod \ 7)}

Ejercicio 4

¿Cuantos numeros Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} hay, que satisfacen simultaneamente :

  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} es divisible por 3,
  • la escritura de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} en base 9 es capicúa,
  • la escritura de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (Aclaracion personal, primer digito no puede ser 0)
  • la escritura de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?


Resolucion - Ejercicio 1

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w \in G_{26} \implies \overline{w} = w^{-1}}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{w}^4 = w^{-4} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w^{2^n} = w^{-4} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w^{2^{n} + 4} = 1 = w^{26} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 26) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 26 = 2 * 13} , y como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2:13) = 1, por \ TCR }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 2) \ \ \ \ (i)\\ 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 13) \ \ \ (ii)\end{cases} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (i) } vale para todo n.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (ii) } como 13 es primo, y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (13:2^n)=1 } , por Fermat Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \implies 2^{n} \equiv 2^{r_{12}(n)} \ (mod \ 13)}

En definitiva, estoy buscando los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} : 2^{r_{12}(n)} \equiv 9 \ (mod \ 13) }

Analizo los posibles restos modulo 12 y veo cual verifica la condición.

Haciendo una tabla de restos, se ve que el unico que verifica es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_{12}(n) = 8 }

Por lo tanto, los n que verifican la ecuacion original son de la forma Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n = 12k + 8, k \in \mathbb{N}_0}

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