Edición de «Final 10/12/2015 (Álgebra I)»

Final de Ariel Pacetti.
Tiempo: 3 horas y media. [[Medio:Algebra_final_10-12-15.pdf|(Aca esta resuelto)]]

==Ejercicio 1==

Sea <math>w \in G_{26}</math> una raíz primitiva. Determine todos los <math>n \in \mathbb{N} </math> tales que <math>w^{{2}^n} = \overline{w}^4 . </math>

==Ejercicio 2==

En cada caso, decida si puede existir una relacion en un conjunto <math>A</math> que sea:

(a) Reflexiva, simétrica y antisimétrica.

(b) Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.

(c) Simétrica, antisimétrica y '''no''' transitiva.

(d) Simétrica, '''no''' antisimétrica y transitiva.

==Ejercicio 3==

Encuentre un polinomio mónico <math> q(x)</math> de grado 2 en <math> \mathbb{Z}[x] </math> que verifique simultaneamente las siguientes propiedades.

* <math> q(0) \equiv 2 (mod \  5) </math> y <math> q(2) \equiv 0 (mod \  5)</math>
* <math> q(0) \equiv 3 (mod \  7) </math> y <math> q(3) \equiv 1 (mod \  7)</math>

==Ejercicio 4==

¿Cuantos numeros <math>n \in \mathbb{N}</math> hay, que satisfacen '''simultaneamente''' :

* <math>n</math> es divisible por 3,
* la escritura de <math>n</math> en base 9 es capicúa,
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (''Aclaracion personal'', primer digito no puede ser 0)
* la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?


==Resolucion - Ejercicio 1==

<math>w \in G_{26} \implies \overline{w} = w^{-1}</math>

<math> \overline{w}^4 = w^{-4} </math>

<math> w^{2^n} = w^{-4} </math>

<math> w^{2^{n} + 4} = 1 = w^{26} </math>

<math>2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 26) </math>

<math>26 = 2 * 13</math> , y como <math>(2:13) = 1, por \  TCR </math> 

<math>
\begin{cases} 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 2)  \ \ \ \  (i)\\ 2^{n} + 4 \equiv 0 (mod \ 13) \ \ \ (ii)\end{cases}
</math>

<math> (i) </math> vale para todo n.

<math> (ii) </math> como 13 es primo, y <math> (13:2^n)=1 </math>, por Fermat <math> \implies 2^{n} \equiv 2^{r_{12}(n)} \  (mod \ 13)</math>

En definitiva, estoy buscando los <math> n \in \mathbb{N} : 2^{r_{12}(n)} \equiv 9 \ (mod \  13) </math>

Analizo los posibles restos modulo 12 y veo cual verifica la condición.

Haciendo una tabla de restos, se ve que el unico que verifica es <math> r_{12}(n) = 8 </math>

Por lo tanto, los n que verifican la ecuacion original son de la forma <math> n = 12k + 8, k \in \mathbb{N}_0</math>