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| Final de Ariel Pacetti.
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| Tiempo: 3 horas y media. [[Medio:Algebra_final_10-12-15.pdf|(Aca esta resuelto)]]
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| ==Ejercicio 1== | | ==Ejercicio 1== |
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| Sea <math>w \in G_{26}</math> una raíz primitiva. Determine todos los <math>n \in \mathbb{N} </math> tales que <math>w^{{2}^n} = \overline{w}^4 . </math> | | Sea <math>w \in G_{26}</math> una raíz primitiva. Determine todos los <math>n \in \mathbb{N} </math> tales que <math>w^{{2}^n} = \overline{w}^4 . |
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| ==Ejercicio 2==
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| En cada caso, decida si puede existir una relacion en un conjunto <math>A</math> que sea:
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| (a) Reflexiva, simétrica y antisimétrica.
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| (b) Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
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| (c) Simétrica, antisimétrica y '''no''' transitiva.
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| (d) Simétrica, '''no''' antisimétrica y transitiva.
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| ==Ejercicio 3==
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| Encuentre un polinomio mónico <math> q(x)</math> de grado 2 en <math> \mathbb{Z}[x] </math> que verifique simultaneamente las siguientes propiedades.
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| * <math> q(0) \equiv 2 (mod \ 5) </math> y <math> q(2) \equiv 0 (mod \ 5)</math>
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| * <math> q(0) \equiv 3 (mod \ 7) </math> y <math> q(3) \equiv 1 (mod \ 7)</math>
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| ==Ejercicio 4==
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| ¿Cuantos numeros <math>n \in \mathbb{N}</math> hay, que satisfacen '''simultaneamente''' :
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| * <math>n</math> es divisible por 3,
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| * la escritura de <math>n</math> en base 9 es capicúa,
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| * la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (''Aclaracion personal'', primer digito no puede ser 0)
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| * la escritura de <math>n</math> en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?
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