Diferencia entre revisiones de «Final 06/08/2013 (Álgebra I)»
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==Ejercicio 1== | |||
Dado un conjunto finito de n elementos, cuántas relaciones simétricas se pueden hacer? | |||
==Ejercicio 2== | |||
Dado U un conjunto de n elementos y dados <math>A,B \subseteq U</math> | |||
Y los siguientes valores: | |||
<math>\# A \cap B = \frac{2n}{5} | |||
\# B = \frac{1n}{2} | |||
\# \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}</math> | |||
Calcular | |||
<math>- \# A | |||
- \# A \bigtriangleup B</math> | |||
===Resolución=== | |||
Primero que nada | |||
Esta cosa <math>\# \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}</math> es igual que decir <math>\# \left(A-B\right)^{c}</math> | |||
Entonces | |||
<math>\# A = \# U - \# \left(A-B\right)^{c} + \# A \cap B</math> | |||
Entonces <math>\# A = n - \frac{13n}{20} + \frac{2n}{5} = \frac{3n}{4}</math> | |||
Ahora el otro <math>\# A \bigtriangleup B = \# A + \# B - 2\left(\# A \cap B\right)</math> | |||
Entonces <math>\# A \bigtriangleup B = \frac{3n}{4} + \frac{1n}{2} - 2\left(\frac{13n}{20n}\right) = \frac{9n}{20}</math> | |||
==Ejercicio 3== | ==Ejercicio 3== | ||
Dado <math>P\left(x\right) = x^{3}+ax^{2}+bx+c</math> la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces <math>ab=c</math> | Dado <math>P\left(x\right) = x^{3}+ax^{2}+bx+c</math> la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces <math>ab=c</math> | ||
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c=\beta^{2}\delta</math> | c=\beta^{2}\delta</math> | ||
Luego vemos que se verifica que <math>ab=c</math> | Luego vemos que se verifica que <math>ab=c</math> | ||
==Ejercicio 4== | ==Ejercicio 4== | ||
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y menores que 600, van a ser: 76,314,552 | y menores que 600, van a ser: 76,314,552 | ||
==Ejercicio 5== | |||
Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que <math>(z+w)^n</math> pertenece a los reales. | |||
Revisión del 23:57 31 jul 2015
Ejercicio 1
Dado un conjunto finito de n elementos, cuántas relaciones simétricas se pueden hacer?
Ejercicio 2
Dado U un conjunto de n elementos y dados Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A,B \subseteq U} Y los siguientes valores: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# A \cap B = \frac{2n}{5} \# B = \frac{1n}{2} \# \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}} Calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \# A - \# A \bigtriangleup B}
Resolución
Primero que nada Esta cosa Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}} es igual que decir Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# \left(A-B\right)^{c}} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# A = \# U - \# \left(A-B\right)^{c} + \# A \cap B} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# A = n - \frac{13n}{20} + \frac{2n}{5} = \frac{3n}{4}} Ahora el otro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# A \bigtriangleup B = \# A + \# B - 2\left(\# A \cap B\right)} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \# A \bigtriangleup B = \frac{3n}{4} + \frac{1n}{2} - 2\left(\frac{13n}{20n}\right) = \frac{9n}{20}}
Ejercicio 3
Dado Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\left(x\right) = x^{3}+ax^{2}+bx+c} la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab=c}
Resolución
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\left(x\right) = \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\delta\right) = x^{3}-(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)x-\alpha\beta\delta \\ -a=\alpha+\beta+\delta \\ b=\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta \\ -c=\alpha\beta\delta}
Sabemos que la suma de dos de sus raices es 0. Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=-\beta}
Reemplazamos y nos queda Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=-\delta b=-\beta^{2} c=\beta^{2}\delta} Luego vemos que se verifica que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab=c}
Ejercicio 4
Texto larguísimo. La cosa era mas o menos así. Tenemos menos de 600 monedas, en una cantidad par. Se las repartian en filas de a 17 y sobraban 8. Luego se repartían la mitad en filas de 7 y sobraban 3. ¿Cuantas monedas son?¿Pueden ser varias?
Resolución
Esos datos en concreto se resumen en (c representa a cantidad) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\equiv0\left(2\right) c\equiv8\left(17\right) \left(\frac{c}{2}\right)\equiv3\left(7\right) = c\equiv6\left(7\right)} Luego aplicando TCR nos quedaba como solución x=238q+76 Y entonces las cantidades posibles son varias y menores que 600, van a ser: 76,314,552
Ejercicio 5
Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (z+w)^n} pertenece a los reales.
