Edición de «Final 06/08/2013 (Álgebra I)»

{{Back|Álgebra I}}
==Ejercicio 3==
Dado <math>P\left(x\right) = x^{3}+ax^{2}+bx+c</math> la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces <math>ab=c</math>

===Resolución===
<math>P\left(x\right) = \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\delta\right) = x^{3}-(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)x-\alpha\beta\delta </math>

<math>-a=\alpha+\beta+\delta </math>

<math>b=\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta </math>

<math>-c=\alpha\beta\delta</math>

Sabemos que la suma de dos de sus raices es 0. Entonces <math>\alpha=-\beta</math>

Reemplazamos y nos queda
<math>a=-\delta
b=-\beta^{2}
c=\beta^{2}\delta</math>
Luego vemos que se verifica que <math>ab=c</math>


==Ejercicio 4==
Texto larguísimo. La cosa era mas o menos así. Tenemos menos de 600 monedas, en una cantidad par.
Se las repartian en filas de a 17 y sobraban 8. Luego se repartían la mitad en filas de 7 y sobraban 3.
¿Cuantas monedas son?¿Pueden ser varias?

===Resolución===
Esos datos en concreto se resumen en (c representa a cantidad)
<math>c\equiv0\left(2\right)
c\equiv8\left(17\right)
\left(\frac{c}{2}\right)\equiv3\left(7\right) = c\equiv6\left(7\right)</math>
Luego aplicando TCR nos quedaba como solución x=238q+76 Y entonces las cantidades posibles son varias
y menores que 600, van a ser: 76,314,552


2) Dado U un conjunto de n elementos y dados <math>A,B \subseteq U</math>
Y los siguientes valores: (Esto <math>\star</math> va a representar el cardinal ya que el latex pincha con el numeral)
<math>\star A \cap B = \frac{2n}{5}
\star B = \frac{1n}{2}
\star \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}</math>
Calcular
<math>- \star A
- \star A \bigtriangleup B</math>
Resolución
Primero que nada
Esta cosa <math>\star \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}</math> es igual que decir <math>\star \left(A-B\right)^{c}</math>
Entonces
<math>\star A = \star U - \star \left(A-B\right)^{c} + \star A \cap B</math>
Entonces <math>\star A = n - \frac{13n}{20} + \frac{2n}{5} = \frac{3n}{4}</math>
Ahora el otro <math>\star A \bigtriangleup B = \star A + \star B - 2\left(\star A \cap B\right)</math>
Entonces <math>\star A \bigtriangleup B = \frac{3n}{4} + \frac{1n}{2} - 2\left(\frac{13n}{20n}\right) = \frac{9n}{20}</math>


1) La cantidad de relaciones simétricas que se pueden hacer dado un conjunto finito de n elementos.
5) Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que <math>(z+w)^n</math> pertenece a los reales.