Edición de «Final 04/03/2016 (Álgebra I)»

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El profesor fue Javier Etcheverry, el final fue de 9:00 a 13:00

==Ejercicio 1==
El número 9376 cumple la propiedad de que <math>9376^{2}=87909376</math>

¿Cuántos números de cuatro cifras o menos cumplen la propiedad de que <math> X^{2} \equiv X (10000)</math>?

¿Cuántos números cumplen la propiedad de que <math> X^{2} \equiv X (10^{n})</math>?

==Ejercicio 2==
Probar la identidad de Lagrange:
<math>\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right) - \left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2=\sum_{1\le i< j\le n} (a_ib_j-a_jb_i)^2</math>

==Ejercicio 3==
(a) Sea f polinomio de grado 5 en Q[x], con raices <math>1-\sqrt{3}</math> y <math>2+\sqrt{3}</math>, probar que f tiene una raiz racional

(b) Hallar un polinomio g de grado 5 incluido en Q[x] tal que tenga <math>1-\sqrt{3}</math> como raiz y no tenga raices racionales.

==Ejercicio 4==
Sea en <math>\mathbb{N} x \mathbb{N}</math> la relación

<math> a R b \leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}_0 \text{ tal que } b=3^{n}a</math>

Decidir si es reflexiva, transitiva, simétrica o antisimétrica.