Final 26/06/2017 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función diferenciable en un punto $P\in \mathbb {R} ^{2}$ y sea $V\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ \Vert V\Vert =1$. Probar que existe la derivada direccional $F_{v}(P)$ y es igual a $\langle \nabla F(P),V\rangle$. Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.

Ejercicio 2

Sea $F:B_{r}(P)\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función diferenciable en $P$. Probar que para todos $Q,R\in B_{r}(P)$ existe un $P_{0}$ en el segmento que une $Q$ con $R$ tal que $F(R)-F(Q)=\langle \nabla F(P_{0}),R-Q\rangle$.

Ejercicio 3

Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ diferenciable tal que $g(x,1)=4\ \forall \ x\in \mathbb {R} ,g(0,y)=4\ \forall \ y\in \mathbb {R} ,g(x,x+1)=x^{2}+4\ \forall \ x\in \mathbb {R}$. Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ con

$f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {g(x,y)-4}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\text{ si }}(x,y)\neq (0,1)\\0&{\text{ si }}(x,y)=(0,1)\end{cases}}$.

Probar que $f$ es continua pero no diferenciable.

Ejercicio 4

Sea $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ continua tal que $\int _{2}^{4}g(t)dt=2$.
Sea $f(x,y)={\frac {g({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ y sea $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ /\ x,y\geq 0\ ;\ 4\leq x^{2}+y^{2}\leq 16\ ;\ x\leq y\leq {\sqrt {3}}x\}$.
Calcular $\int _{D}f(x,y)dxdy$